Démonstration d’une conjecture par récurrence
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectif travaillé
Soit $k$ un réel positif ou nul.
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \geqslant 0$ : $u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$.
- Exprimer $u_1$, $u_2$, $u_3$ en fonction de $k$.
Conjecturer la valeur de $u_n$ en fonction de $k$ et de $n$. - Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.
Corrigé
On calcule les premiers termes :
$u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2} = \sqrt{k^2} = k$
car $k$ est un réel positif ou nul.
$u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$
$u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}$Au vu de ces premiers résultats, on conjecture que, pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=k \sqrt{n}$Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$.
Initialisation : $u_0=0$ et $k \sqrt{0} = 0$ donc la propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons que la propriété $u_n=k \sqrt{n}$ est vraie pour un certain entier naturel $n$ (hypothèse de récurrence). Alors :
$u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$ (définition de la suite)
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2}$ (hypothèse de récurrence)
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}$
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}$
$\phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}$
ce qui montre que la propriété est héréditaire.Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $\mathbf{u_n=k \sqrt{n}}$.