Tableau de variations et extremums
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Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [-1 ; 8] $ dont la courbe représentative est tracée ci-dessous :
- Dresser le tableau de variations de la fonction $ f $.
- Déterminer le maximum et le minimum de $ f $. Pour quelles valeurs de $ x $ ces extremums sont-ils atteints ?
Pour chacune des questions ci-dessous, indiquer si l'affirmation est juste ou fausse. Justifier.
- Pour tout $ x \in [-1 ; 8] $, $ f(x) \geqslant -3 $
- Pour tout $ x \in [-1 ; 8] $, $ f(x) \leqslant 4 $
- Pour tout $ x \in [1 ; 4] $, $ f(x) \leqslant 0 $
- Pour tout $ x \in [-1 ; 2] $, $ f(x) \geqslant 0 $
Corrigé
1. Tableau de variations
Par lecture graphique, la fonction $f$ est croissante sur $[-1 ; 1]$, décroissante sur $[1 ; 4]$, croissante sur $[4 ; 6]$, puis décroissante sur $[6 ; 8]$.
2. Extremums
Le maximum de $f$ est $\mathbf{5}$. Il est atteint pour $x = 1$.
Le minimum de $f$ est $\mathbf{-3}$. Il est atteint pour $x = 8$.
3. Vrai ou faux
a) Pour tout $ x \in [-1 ; 8] $, $ f(x) \geqslant -3 $ : VRAI.
Le minimum de $f$ sur $[-1 ; 8]$ est $-3$ (atteint en $x = 8$). Toutes les images sont donc supérieures ou égales à $-3$.
b) Pour tout $ x \in [-1 ; 8] $, $ f(x) \leqslant 4 $ : FAUX.
En effet, $f(1) = 5 > 4$. Il existe donc au moins une valeur de $x$ pour laquelle $f(x) > 4$.
c) Pour tout $ x \in [1 ; 4] $, $ f(x) \leqslant 0 $ : FAUX.
En effet, $f(1) = 5 > 0$. L'affirmation est fausse dès le point $x = 1$.
d) Pour tout $ x \in [-1 ; 2] $, $ f(x) \geqslant 0 $ : VRAI.
Sur $[-1 ; 2]$, la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses. On a $f(-1) = 2 > 0$, $f(1) = 5 > 0$ et $f(2) > 0$ (la courbe ne coupe pas l'axe avant $x = 2$).