Tangentes communes

$ f^{\prime}\left(x\right)=2x - 4 $

$ g^{\prime}\left(x\right)= - 2x+2 $

Soit $ A $ un point de $ C_{f} $ d'abscisse $ a $. La tangente à $ C_{f} $ au point $ A $ a pour équation :

$ y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x - a\right)+f\left(a\right) $

Ce qui donne :

$ y=\left(2a - 4\right)x - \left(2a - 4\right)a+a^{2} - 4a+3 $

$ y=\left(2a - 4\right)x - a^{2}+3 $

Soit $ B $ un point de $ C_{g} $ d'abscisse $ b $. La tangente à $ C_{g} $ au point $ B $ a pour équation :

$ y=g^{\prime}\left(b\right)\left(x - b\right)+g\left(b\right) $

Après calcul :

$ y=\left( - 2b+2\right)x+b^{2} - 3 $

Ces deux tangentes sont identiques si et seulement si :

$ \left\{ \begin{matrix} 2a - 4= - 2b+2 \\ - a^{2}+3=b^{2} - 3 \end{matrix}\right. $

On obtient un système de 2 équations à 2 inconnues. La première équation donne $ a=3 - b $ puis par substitution dans la seconde :

$ - \left(3 - b\right)^{2}+3=b^{2} - 3 $

Soit : $ 2b^{2} - 6b+3=0 $

Ce qui donne les solutions :

$ b_{1}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} $ et $ b_{2}=\dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} $

et comme $ a=3 - b $

$ a_{1}=\dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} $ et $ a_{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} $

Il suffit ensuite de remplacer $ a $ par $ a_{1} $ et $ a_{2} $ dans l'équation de la tangente à $ C_{f} $ au point $ A $ (ou de remplacer $ b $ par $ b_{1} $ et $ b_{2} $ dans l'équation de la tangente à $ C_{g} $ au point $ B $) pour trouver les équations des tangentes :

• $\mathbf{y=\left(\sqrt{3} - 1\right)x - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$
• $\mathbf{y=\left( - \sqrt{3} - 1\right)x+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$