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Nombre dérivé - Fonction dérivée Exercices

Fonctions – Contour d’une piscine

Durée estimée
25 minutes
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Objectifs travaillés

Pour les besoins d'un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d'une future piscine carrelée.

Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé $ (O,I,J) $ d'unité 1 mètre.

fonctions-contour-dune-piscine

$ C_1 $ est un demi-cercle de centre $ O $ et de rayon $ 8 $ ;

$ C_2 $ est un demi-cercle de centre $ P(12 ; 0) $ et de rayon $ 6 $. Les courbes $ F_1 $ et $ F_2 $ relient ces deux demi-cercles.

Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe $ F_1 $ aux points $ M(0;8) $ et $ N(12;6) $ sont parallèles à l'axe des abscisses.

Partie 1

  1. La courbe $ F_1 $ est la représentation graphique d'une fonction $ f $ définie sur $ [0;12] $.

    Quelles sont les valeurs de $ f(0) $, $ f(12) $ , $ f^{\prime}(0) $, $ f^{\prime}(12) $ ?
  2. $ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $.

    Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par $ (a;b;c;d) $.
  3. En déduire les valeurs de $ a, b, c $ et $ d $.

Partie 2

Dans la suite du problème on suppose que $ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 - \dfrac{1}{24}x^2+8 $.

  1. Montrer que le milieu $ I $ de $ [MN] $ appartient à la courbe $ F_1 $
  2. Donner une équation de la tangente $ (T) $ à la courbe $ F_1 $ au point $ I $.

Partie 3

  1. Dans le but de carreler le fond de la piscine, l'architecte cherche à estimer l'aire $ \mathscr A $ de la surface située à l'intérieur de ce contour.

    On admet que l'aire de la surface délimitée par la courbe $ F_1 $ et les segments $ [OM], [OP], [PN] $ est égale à l'aire du trapèze $ OMNP $.

    Calculer l'aire $ \mathscr A $ en $ \text{m}^2 $ (on arrondira au $ \text{m}^2 $ près).
  2. La profondeur de la piscine sera constante et égale à $ 1,5\text{m} $.

    Quel sera, en $ \text{m}^3 $, le volume d'eau de la piscine ?

Corrigé

Partie 1

  1. La courbe $ F_1 $ passe par le point $ M(0;8) $ donc $ f(0)=8 $.

    La courbe $ F_1 $ passe par le point $ N(12;6) $ donc $ f(12)=6 $.

    Rappel

    La tangente à $ F_1 $ au point d'abscisse $ a $ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $ f ^{\prime}(a)=0 $

    La tangente à $ F_1 $ au point $ M $ est parallèle à l'axe des abscisses donc $ f ^{\prime}(0)=0 $.
    La tangente à $ F_1 $ au point $ N $ est parallèle à l'axe des abscisses donc $ f ^{\prime}(12)=0 $.

  2. $ f(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d $

    Donc d'après la question précédente $ d=8 $.

    De même :

    $ f(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d =1728a+144b+12c+d $

    Donc $ 1728a+144b+12c+d=6 $.

    $ f ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c $

    $ f ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c $

    Donc $ c=0 $.

    $ f ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c $

    Donc $ 432a+24b+c=0 $.

    Le quadruplet $ (a;b;c;d) $ est donc solution du système :

    $ \begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases} $

  3. Les première et troisième équations donnent $ c=0 $ et $ d=8 $.

    En remplaçant $ c $ par $ 0 $ et $ d $ par $ 8 $ dans les deux autres équations on obtient :

    $ (S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases} $

    Ce système équivaut à :

    $ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= - 18a \end{cases} $ 

    $ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( - 18a)= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} $ 

    $ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} - 864a= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} $  

    $ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{2}{864} \\ \\ b= - 18 \times \dfrac{2}{864} \end{cases} $  

    $ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{1}{432} \\ \\ b= - \dfrac{1}{24} \end{cases} $  

    Finalement $ a=\dfrac{1}{432}, b= - \dfrac{1}{24}, c=0 $ et $ d=8 $.

    Donc $ f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 - \dfrac{1}{24}x^2+8 $.

Partie 2

  1. Les coordonnées du point $ I $ sont :

    $ x_I=\dfrac{x_M+x_N}{2}=\dfrac{0+12}{2}=6 $

    $ y_I=\dfrac{y_M+y_N}{2}=\dfrac{8+6}{2}=7 $

    Rappel

    Le point $ I $ appartient à la courbe $ F_1 $ si et seulement si $ f(x_I)=y_I $

    $ f(6)=\dfrac{1}{432} \times 216 - \dfrac{1}{24} \times 36+8 =0,5 - 1,5+8=7 $

    $ f(x_I)=y_I $ donc le milieu $ I $ de $ [MN] $ appartient à la courbe $ F_1 $.

  2. L'équation réduite de la tangente à la courbe $ F_1 $ en $ I $ est :

    $ y=f ^{\prime}(6)(x - 6)+f(6) $

    $ f ^{\prime}(x)=\dfrac{3}{432}x^2 - \dfrac{2}{24}x =\dfrac{x^2}{144} - \dfrac{x}{12} $

    $ f^{\prime}(6)=\dfrac{36}{144} - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{4} $

    L'équation réduite de $ (T) $ est donc :

    $ y= - \dfrac{1}{4}(x - 6) + 7 $

    $ y= - \dfrac{1}{4}x+\dfrac{17}{2} $

    fonctions-contour-dune-piscine-2

Partie 3

  1. On « découpe » l'aire $ \mathscr A $ en quatre aires :

    • l'aire $ \mathscr A_1 $ du demi-disque de rayon $ [OM] $
    • l'aire $ \mathscr A_2 $ du demi-disque de rayon $ [PN] $
    • l'aire $ \mathscr A_3 $ du trapèze $ OMNP $ et du trapèze symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

    $ \mathscr A_1=\dfrac{1}{2}\pi OM^2=32\pi $

    $ \mathscr A_2=\dfrac{1}{2}\pi PN^2=18\pi $

    Théorème

    Rappel

    L'aire d'un trapèze de bases $ b $ et $ B $ et de hauteur $ h $ est $ \mathscr A=\dfrac{b+B}{2} \times h $

    $ \mathscr A_3=\dfrac{8+6}{2} \times 12 $

    $ \phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12 $

    $ \phantom{\mathscr A_3}=84 $

    L'aire totale est donc :

    $ \mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3 $

    $ \phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2 $

  2. Le volume d'eau de la piscine est :

    $ \mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3 $