Th. de Thalès (Brevet 2013)
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectif travaillé
(D'après Brevet Centres étrangers 2013)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.
$ BCDE $ est un carré de $ 6 $ cm de côté.
Les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés et $ AB=3 $cm.
$ F $ est un point du segment $ \left[CD\right] $.
La droite $ \left(AF\right) $ coupe le segment $ \left[BE\right] $ en $ M $.
Déterminer la longueur $ CF $ pour que les longueurs $ BM $ et $ FD $ soient égales.
Corrigé
Notons $ x=CF $.
Comme les points $ C, F $ et $ D $ sont alignés :
$ FD=CD-CF=6-x \qquad $(1)
Comme $ BCDE $ est un carré, les droites $ \left(BE\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{CF} $
$ \dfrac{3}{9}=\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{BM}{x} $
De l'égalité $ \dfrac{3}{9}=\dfrac{BM}{x} $, on déduit :
$ BM=\dfrac{3x}{9}=\dfrac{x}{3} \qquad $(2)
En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs $ FD $ et $ BM $ sont donc égales lorsque :
$ 6-x=\dfrac{x}{3} $
$ 6=\dfrac{x}{3}+x $
$ 6=\dfrac{4}{3}x $
$ \dfrac{4}{3}x=6 $
$ x=6\times \dfrac{3}{4} $
$ x=4{,}5 $
Les longueurs $ BM $ et $ FD $ sont donc égales lorsque $ CF $ vaut $ 4{,}5 $cm.