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Fonctions affines Exercices

Fonctions linéaires et affines (Brevet 2010)

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

(D'après Brevet Pondichéry 2010)

Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.

  • Offre A : 1,20€ par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
  • Offre B : 0,50€ par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35€.
  1. Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
    1. Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
    2. Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B

  3. Soit $ f $ et $ g $ les deux fonctions définies par : $ f : x\mapsto 1{,}2x $   et   $ g : x\mapsto 0{,}5x+35. $

    1. L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi. « $ f $ et $ g $ sont toutes les deux des fonctions linéaires ».
    2. Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $ f $ et $ g $. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10€ en ordonnée
  4. Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
  5. Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
  6. Si on dépense 80€, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?

Corrigé

  1. Pour 30 morceaux :

    • Offre A : $ 1{,}20 \times 30 = 36 $.
      Le prix est de 36 €.
    • Offre B : $ 0{,}50 \times 30 + 35 = 15 + 35 = 50 $.
      Le prix est de 50 €.

  2. Expressions des fonctions :

    1. Le prix avec l'offre A est proportionnel au nombre de morceaux téléchargés.

      Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :

      $ f(x) = 1{,}2x $

    2. Le prix avec l'offre B comprend un abonnement fixe de 35 € plus 0,50 € par morceau.

      Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :

      $ g(x) = 0{,}5x + 35 $

  3. Étude des fonctions :

    1. La fonction $ f $ est de la forme $ ax $ avec $ a=1{,}2 $.

      C'est donc une fonction linéaire.

      La fonction $ g $ est de la forme $ ax+b $ avec $ a=0{,}5 $ et $ b=35 $.

      C'est une fonction affine.

      Elle n'est pas linéaire car $ b \neq 0 $.

      L'affirmation est donc fausse.

    2. Représentation graphique :

      Pour $ f $ (fonction linéaire), la représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.

      On calcule un deuxième point pour le tracé.

      Pour $ x=50 $, $ f(50) = 1{,}2 \times 50 = 60 $.

      La droite passe par les points $ (0;0) $ et $ (50; 60) $.

      Pour $ g $ (fonction affine), la représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine.

      L'ordonnée à l'origine est 35, donc elle passe par $ (0; 35) $.

      On calcule un deuxième point.

      Pour $ x=50 $, $ g(50) = 0{,}5 \times 50 + 35 = 60 $.

      La droite passe par les points $ (0; 35) $ et $ (50; 60) $.

      Graphique comparatif des offres A et B

  4. On cherche le nombre de morceaux $ x $ pour lequel les prix sont identiques, c'est-à-dire $ f(x) = g(x) $.

    On résout l'équation :
    $ 1{,}2x = 0{,}5x + 35 $
    $ 1{,}2x - 0{,}5x = 35 $
    $ 0{,}7x = 35 $
    $ x = \dfrac{35}{0{,}7} = 50 $

    Les prix sont donc les mêmes pour 50 morceaux.

  5. On compare les prix pour 60 morceaux téléchargés.

    Offre A : $ f(60) = 1{,}2 \times 60 = 72 $. Le coût est de 72 €.

    Offre B : $ g(60) = 0{,}5 \times 60 + 35 = 30 + 35 = 65 $. Le coût est de 65 €.

    65 < 72, donc l'offre B est la plus avantageuse pour 60 morceaux.

  6. On cherche combien de morceaux on peut télécharger avec 80 € selon l'offre B.

    On résout l'équation $ g(x) = 80 $ :
    $ 0{,}5x + 35 = 80 $
    $ 0{,}5x = 80 - 35 $
    $ 0{,}5x = 45 $
    $ x = \dfrac{45}{0{,}5} $

    $ x = 90 $

    Avec 80 €, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B.