Solutions entières d’équations

L'équation $ m^{2} - n^{2}=24 $ peut s'écrire $ \left(m - n\right)\left(m+n\right)=24 $.

Cela entraîne que $ m - n $ et $ m+n $ divisent $ 24 $.

Or les diviseurs de $ 24 $ sont $ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 $.

• Si $ m - n=1 $ et $ m+n=24 $ alors, en additionnant membre à membre ces deux égalités, $ 2m=25 $. Cette équation n'a pas de solution dans $ \mathbb{N} $
• Si $ m - n=2 $ et $ m+n=12 $ alors $ 2m=14 $ donc $ m=7 $ et $ n=12 - m=5 $. Le couple $ \left(m ; n\right) = \left(7 ; 5\right) $ est donc une solution.
• Si $ m - n=3 $ et $ m+n=8 $ alors $ 2m=11 $ qui n'a pas de solution dans $ \mathbb{N} $
• Si $ m - n=4 $ et $ m+n=6 $ alors $ 2m=10 $ donc $ m=5 $ et $ n=6 - m=1 $. Le couple $ \left(m ; n\right) = \left(5 ; 1\right) $ est donc une solution.
• Les autres possibilités ne peuvent fournir de solutions puisque, $ m $ et $ n $ étant des entiers naturels, $ m+n $ doit être supérieur à $ m - n $.

Finalement, les couples d'entiers naturels $ \left(m ; n\right) $ tels que $ m^{2} - n^{2}=24 $ sont $ \left(7 ; 5\right) $ et $ \left(5 ; 1\right) $.