[ROC] Événements indépendants
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On suppose connue la formule des probabilités totales.
Montrer que si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors $ A $ et $ \overline{B} $ sont aussi indépendants.
Corrigé
Si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors :
$ p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $
D'après la formule des probabilités totales :
$ p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right) $
Par conséquent :
$ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right) - p\left(A\cap B\right) =p\left(A\right) - p\left(A\right)\times p\left(B\right) =p\left(A\right)\left(1 - p\left(B\right)\right) $
Or $ 1 - p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right) $ donc $ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right) $, ce qui prouve que $ A $ et $ \overline{B} $ sont indépendants.
Pour réviser : Appliquer la formule des probabilités totales