Équation trigonométrique (4)

L'équation à résoudre est $\cos(3x) = \sin(2x)$.

On utilise l'identité $\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - a \right) = \cos(a)$. L'équation $\cos(3x) = \sin(2x)$ est donc équivalente à :

Ce qui équivaut à :

On résout ces deux cas séparément.

Premier cas : $2x = \dfrac{\pi}{2} - 3x + 2k\pi$

On cherche les solutions dans l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$ :

En divisant par $\pi$ :

En multipliant par $\dfrac{5}{2}$ :

Soit $-2{,}75 < k \le 2{,}25$. Les valeurs entières possibles pour $k$ sont $\{ -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 \}$.

On obtient les solutions :

• $k = -2$ donne $x = \dfrac{\pi}{10} - \dfrac{4\pi}{5} = -\dfrac{7\pi}{10}$
  $k = -1$ donne $x = \dfrac{\pi}{10} - \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{3\pi}{10}$
  $k = 0$ donne $x = \dfrac{\pi}{10}$
  $k = 1$ donne $x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2}$
  $k = 2$ donne $x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{9\pi}{10}$

Deuxième cas : $2x = \pi - \left( \dfrac{\pi}{2} - 3x \right) + 2k\pi$

Dans l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$, la seule valeur possible est pour $k=0$, ce qui donne $x = -\dfrac{\pi}{2}$.

L'ensemble des solutions dans $\left] -\pi ; \pi \right]$ est :

Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique :

Pour réviser : Résoudre une équation cos(x) = k ou sin(x) = k