Placements financiers (calculatrice)
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Une banque A propose un placement (à intérêts composés) au taux de 8% par an. Des frais de gestion de 20 euros sont par ailleurs prélevés tous les ans sur le capital placé. On note $ u_{n} $ le capital en euros obtenu la $ n $-ième année.
- Un client veut placer 1 000 euros (c'est à dire que $ u_{0}=1\,000 $).
Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $. - Montrer que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=1{,}08u_{n} - 20 $
- Un client veut placer 1 000 euros (c'est à dire que $ u_{0}=1\,000 $).
Une banque B propose un placement (à intérêts composés) au taux de 6,5% par an sans frais de gestion.On note $ v_{n} $ le capital en euros obtenu la $ n $-ième année avec ce placement.
- Le client souhaite toujours placer 1 000 euros. Calculer $ v_{1} $, $ v_{2} $.
- A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer, en fonction du nombre d'années (pour $ 1\leqslant n\leqslant 20 $), le placement le plus intéressant entre celui de la banque A et celui de la banque B (pour une somme placée de 1 000 euros)
- Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour. (source : Wikipedia)
Corrigé
- Capital + intérêts après un an = $ 1000 + \dfrac{8}{100}\times 1000 $
Capital + intérêts après un an = $ 1000\times \left(1+\dfrac{8}{100}\right)=1000\times 1{,}08=1080 $
Capital + intérêts - frais après un an =$ 1080 - 20 = 1060 $
Donc $ u_{1}=1060 $.
De même : $ u_{2}=1{,}08\times u_{1} - 20 = 1{,}08\times 1060 - 20 = 1144{,}80 - 20 = 1124{,}80 $ - Pour trouver le capital $ u_{n+1} $, on multiplie le capital de l'année précédente, $ u_{n} $, par $ 1{,}08 $ pour adjoindre les intérêts et on soustrait les frais de gestion de $ 20 $ euros. On a donc bien :
$ u_{n+1}=1{,}08u_{n} - 20 $
- Capital + intérêts après un an = $ 1000 + \dfrac{8}{100}\times 1000 $
- $ v_{1}=1000\times \left(1+\dfrac{6{,}5}{100}\right)=1000\times 1{,}065=1065 $
$ v_{2}=1065\times \left(1+\dfrac{6{,}5}{100}\right)=1065\times 1{,}065=1134{,}225 $ Sur tableur, on obtient les résultats suivants pour $ u_{n} $ et $ v_{n} $ :
Le placement de la banque B est plus intéressant pour un placement d'une durée inférieure ou égale à 11 ans, et celui de la banque A pour un placement d'une durée supérieure ou égale à 12 ans.
- $ v_{1}=1000\times \left(1+\dfrac{6{,}5}{100}\right)=1000\times 1{,}065=1065 $