Inéquations se ramenant au 2nd degré

Précisons tout d'abord que $ \dfrac{4}{x - 1} $ est défini pour $ x\neq 1 $

$ \dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \left(x + 2\right) \geqslant 0 $

On réduit au même dénominateur :

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{\left(x + 2\right)\left(x - 1\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4 - \left(x^{2}+x - 2\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{ - x^{2} - x+6}{x - 1} \geqslant 0 $

Le numérateur est un polynôme du second degré ; son discriminant vaut $ \Delta =\left( - 1\right)^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times 6=1+24=25 $, donc ses racines sont $ \dfrac{1 - 5}{ - 2}=2 $ et $ \dfrac{1+5}{ - 2}= - 3 $.

$ - x^{2} - x+6 $ est du signe de $ a \left(= - 1\right) $ donc négatif à « l'extérieur » des racines.

Le dénominateur $ x - 1 $ est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc $ x - 1 $ est « négatif puis positif ».

On obtient le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions est donc :