Résolution d’inéquations du second degré à l’aide d’un graphique

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right) = - x^{2} + 3x + 2 $

Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=4 $
Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=2 $
A l'aide d'un graphique, trouver l'ensemble des valeurs de $ x $ telles que $ 2\leqslant f\left(x\right)\leqslant 4 $

Corrigé

$ - x^{2} + 3x + 2 = 4 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x - 2 = 0 $.

Le discriminant vaut $ \Delta =3^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=9 - 8=1 $, donc l'équation admet deux solutions :

$ x_{1}=\dfrac{ - 3+1}{ - 2}=1 $ et $ x_{2}=\dfrac{ - 3 - 1}{ - 2}=2 $.

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S=\left\{1~;~2\right\}}$.
$ - x^{2} + 3x + 2 = 2 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x = 0 $ soit $ x\left( - x+3\right)=0 $.

C'est une équation « produit nul » qui a pour ensemble de solutions $\mathbf{S=\left\{0~;~3\right\}}$.
À l'aide du graphique ci-dessous et des questions précédentes, on trouve $\mathbf{S=\left[0~;~1\right] \cup \left[2~;~3\right]}$.

Les intervalles sont fermés car l'inégalité est « large » ( $ \leqslant $ ).