La fonction valeur absolue

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ (O \ ; \ I, \ J) $.

Tracer la droite $ D_{1} $ d'équation $ y=x $ et la droite $ D_{2} $ d'équation $ y= - x $.
Si $ x > 0 $, à quelle demi-droite appartient le point $ M\left(x;|x|\right) $ ?
et si $ x < 0 $ ?
Quelle est la représentation graphique de la fonction $ f : x\mapsto |x| $ (fonction "valeur absolue") ?
La courbe admet-elle un axe de symétrie ? Si oui, expliquer pourquoi.
Donner le sens de variation de la fonction « valeur absolue » sur $ \mathbb{R} $.

Corrigé

Les droites $ D_1 $ (d'équation $ y=x $) et $ D_2 $ (d'équation $ y=-x $) sont représentées ci-dessous en bleu et en vert.
Par définition, la valeur absolue d'un nombre $ x $ dépend de son signe.

Si $ x > 0 $, alors $ |x| = x $.
Le point $ M(x ; |x|) $ a donc pour coordonnées $ (x ; x) $.
Il appartient donc à la droite $ D_1 $.
Comme $ x > 0 $, il appartient plus précisément à la demi-droite d'origine $ O $ incluse dans $ D_1 $.

Si $ x < 0 $, alors $ |x| = -x $.
Le point $ M(x ; |x|) $ a pour coordonnées $ (x ; -x) $.
Il appartient donc à la droite $ D_2 $.
Comme $ x < 0 $, il appartient à la demi-droite d'origine $ O $ incluse dans $ D_2 $.
La représentation graphique de la fonction valeur absolue est la réunion de ces deux demi-droites.

Elle forme une courbe en forme de « V » dont le sommet est l'origine du repère.
Oui, la courbe admet un axe de symétrie : l'axe des ordonnées (la droite d'équation $ x=0 $).

Pour tout nombre réel $ x $, on a $ |-x| = |x| $.
On en déduit que $ f(-x) = f(x) $.
La fonction valeur absolue est donc une fonction paire, ce qui se traduit graphiquement par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Le sens de variation de la fonction valeur absolue est résumé dans le tableau suivant :

La fonction est donc décroissante sur $ ]-\infty ; 0] $ et croissante sur $ [0 ; +\infty[ $.