Translation de vecteur $\vec{u}$ : tout point $M$ a pour image $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$. Isométrie (conserve longueurs, angles, aires). Rotation de centre $O$, angle $\theta$ et sens donné : $OM' = OM$ et $(\overrightarrow{OM}\,;\overrightarrow{OM'}) = \theta$. Isométrie. Homothétie de centre $O$, rapport $k \neq 0$ : $\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}$. Invariants Toutes ces transformations conservent les angles et le parallélisme. Seules les isométries (translation, rotation, symétries) conservent les longueurs.À retenir
Longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$, volumes $\times |k|^3$. Conserve les angles.
1. Effet d'une homothétie sur l'aire — Un triangle $ABC$ d'aire $5\text{ cm}^2$ subit une homothétie de rapport $\textcolor{#b91c1c}{k = 3}$. Aire du triangle image $A'B'C'$ ? L'aire est multipliée par $k^2$ : 2. Rotation — Soit $A$ et $O$ deux points distincts. On note $A'$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $60°$ dans le sens direct. Alors : Le triangle $OAA'$ est donc isocèle en $O$.Exemple type
$$\text{aire}(A'B'C') = 5 \times 3^2 = \mathbf{45\text{ cm}^2}.$$
$$\textcolor{#1d4ed8}{OA'} = \textcolor{#1d4ed8}{OA} \quad \text{et} \quad (\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OA'}) = 60°.$$
Pièges classiques