Définition $\textcolor{#1d4ed8}{F}$ est une primitive de $f$ sur $I$ ssi $\textcolor{#1d4ed8}{F'} = f$ sur $I$. Si $f$ est continue sur $I$, elle admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante réelle : si $F$ est une primitive, toutes s'écrivent $\textcolor{#b91c1c}{F(x) + C}$, $C \in \mathbb{R}$. Primitives usuelles Pour $n \neq -1$ : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ ; $e^x \to e^x$ ; $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to -\cos x$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$ ; $\dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac{1}{x}$. Composition Avec $u$ dérivable : Équations différentielles Solutions sur $\mathbb{R}$ :À retenir
$$\begin{aligned}
\textcolor{#1d4ed8}{u'}\,e^{\textcolor{#1d4ed8}{u}} &\to e^{\textcolor{#1d4ed8}{u}} \quad ;\quad \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{u'}}{\textcolor{#1d4ed8}{u}} \to \ln|\textcolor{#1d4ed8}{u}| \\
\textcolor{#1d4ed8}{u'}\,\textcolor{#1d4ed8}{u}^n &\to \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{u}^{n+1}}{n+1} \quad ;\quad \dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{u'}}{\sqrt{\textcolor{#1d4ed8}{u}}} \to 2\sqrt{\textcolor{#1d4ed8}{u}}
\end{aligned}$$
$\textcolor{#b91c1c}{y' = ay} \Leftrightarrow y(x) = C\, e^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$).
$\textcolor{#b91c1c}{y' = ay + b}$ ($a \neq 0$) $\Leftrightarrow y(x) = C\, e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ($C \in \mathbb{R}$).
Condition initiale $y(x_0) = y_0$ → détermine $C$ de façon unique.
$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Primitive avec composition On reconnaît la forme $\dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{u'}}{\textcolor{#1d4ed8}{u}}$ avec $\textcolor{#1d4ed8}{u(x) = x^2 + 1}$ (donc $\textcolor{#1d4ed8}{u'(x) = 2x}$). $\textcolor{#0284c7}{\blacksquare}$ Équation différentielle avec condition initiale Solutions générales : $y(x) = C\, e^{2x}$, $C \in \mathbb{R}$. $\textcolor{#f97316}{\blacksquare}$ Équation avec second membre Forme $y' = ay + b$ avec $a = -1$, $b = 3$.Exemple type
Donner une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.
Comme $u > 0$ sur $\mathbb{R}$ : $\textcolor{#b91c1c}{F(x) = \ln(x^2 + 1) + C}$, $C \in \mathbb{R}$.
Résoudre $y' = 2y$ avec $y(0) = 3$.
Condition $y(0) = 3$ donne $C\, e^0 = C = 3$.
Solution unique : $\textcolor{#b91c1c}{y(x) = 3\, e^{2x}}$.
Résoudre $y' = -y + 3$ avec $y(0) = 5$.
Solutions générales : $y(x) = C\, e^{-x} - \dfrac{3}{-1} = C\, e^{-x} + 3$, $C \in \mathbb{R}$.
$y(0) = 5 \Rightarrow C + 3 = 5 \Rightarrow C = 2$.
Solution unique : $\textcolor{#b91c1c}{y(x) = 2\, e^{-x} + 3}$.
Pièges classiques