Définition $\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ est la réciproque de $\exp$. $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$. Propriétés algébriques Pour tous $\textcolor{#1d4ed8}{a},\, \textcolor{#1d4ed8}{b} > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ : Dérivée & signe $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ; composition : $\left(\ln u(x)\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ (avec $u > 0$). LimitesÀ retenir
Équivalences : $e^a = b \Leftrightarrow a = \ln b$ (avec $b > 0$) ; $\ln(e^x) = x$ ; $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$.
$$\ln(\textcolor{#1d4ed8}{a}\textcolor{#1d4ed8}{b}) = \ln \textcolor{#1d4ed8}{a} + \ln \textcolor{#1d4ed8}{b} \;;\; \ln\!\left(\dfrac{1}{\textcolor{#1d4ed8}{a}}\right) = -\ln \textcolor{#1d4ed8}{a} \;;\; \ln\!\left(\dfrac{\textcolor{#1d4ed8}{a}}{\textcolor{#1d4ed8}{b}}\right) = \ln \textcolor{#1d4ed8}{a} - \ln \textcolor{#1d4ed8}{b} \;;\; \ln(\textcolor{#1d4ed8}{a}^n) = n\ln \textcolor{#1d4ed8}{a}.$$
$\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
Signe : $\textcolor{#b91c1c}{\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1}$ ; $\textcolor{#b91c1c}{\ln x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.
Croissances comparées : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ ; $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n\, \ln x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$).
$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Équation et inéquation Conditions d'existence : $x > 0$ et $x - 2 > 0$, donc $x > 2$. Racines : $x = -1$ ou $x = 3$. Seule $\textcolor{#b91c1c}{x = 3}$ vérifie $x > 2$. Pour la seconde : $\ln x \leqslant 1 = \ln e \Leftrightarrow 0 < x \leqslant e$. Solution : $\textcolor{#b91c1c}{S = \,]0\,;\,e]}$. $\textcolor{#0284c7}{\blacksquare}$ Étude de fonction $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$. Comme $x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $(x - 1)$. $f' < 0$ sur $]0\,;1[$ et $f' > 0$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ admet un minimum en $x = 1$, valeur $f(1) = \textcolor{#b91c1c}{1}$. Donc $f(x) \geqslant 1 > 0$ : la courbe est au-dessus de l'axe.Exemple type
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ln(x) + \ln(x-2) = \ln 3$ puis $\ln x \leqslant 1$.
$\ln(x) + \ln(x-2) = \ln 3 \Leftrightarrow \ln\bigl(x(x-2)\bigr) = \ln 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
Soit $f(x) = x - \ln x$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Étudier les variations de $f$.
Pièges classiques