Limites & continuité — fiche révision

Courbe d'une fonction homographique en bleu avec deux asymptotes en rouge pointillé : asymptote horizontale y=2 en plus et moins l'infini, asymptote verticale x=1

Continuité $\textcolor{#1d4ed8}{f}$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $\lim\limits_{x \to a} \textcolor{#1d4ed8}{f(x)} = \textcolor{#1d4ed8}{f(a)}$. Polynômes, $e^x$, $\ln$, $\sqrt{\,\cdot\,}$, $\sin$, $\cos$ sont continus sur leur domaine.

Limites usuelles $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
Formes indéterminées : $\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\dfrac{0}{0}$.

Asymptotes
$\textcolor{#b91c1c}{y = L}$ asymptote horizontale $\Leftrightarrow$ $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f = \textcolor{#b91c1c}{L}$.
$\textcolor{#b91c1c}{x = a}$ asymptote verticale $\Leftrightarrow$ $\lim\limits_{x \to a} f = \pm\infty$.

TVI Soit $\textcolor{#1d4ed8}{f}$ continue sur $[a;b]$. Pour tout $\textcolor{#b91c1c}{k}$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a;b]$ tel que $\textcolor{#1d4ed8}{f(c)} = \textcolor{#b91c1c}{k}$.
Corollaire : si $f$ est strictement monotone, $c$ est unique.

$\textcolor{#0d9488}{\blacksquare}$ Application du TVI
Montrer que $f(x) = x^3 + x - 1$ admet une unique solution dans $[0\,;1]$.

$\textcolor{#1d4ed8}{f}$ est un polynôme (donc continue) et $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ (donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$).

$f(0) = -1 < \textcolor{#b91c1c}{0}$ et $f(1) = 1 > \textcolor{#b91c1c}{0}$ : $\textcolor{#b91c1c}{k = 0}$ est entre $f(0)$ et $f(1)$. Par le TVI (corollaire pour la stricte monotonie), il existe une unique solution $c \in [0\,;1]$ telle que $f(c) = 0$.

$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Continuité par morceaux
Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leqslant 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$. Étudier la continuité en $\textcolor{#b91c1c}{x = 1}$.

$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$ ; $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 3 \times 1 - 1 = 2$ ; $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.

Les trois valeurs coïncident, donc $f$ est continue en $1$.

Forme indéterminée : ne jamais conclure $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ ni $\infty - \infty = 0$. Il faut transformer l'expression (factoriser le terme dominant, multiplier par le conjugué…) pour lever l'indétermination.
TVI mal appliqué : vérifier les trois conditions — continuité sur $[a;b]$, valeur $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, et stricte monotonie pour conclure à l'unicité (sans monotonie, on n'a que l'existence).
Limite à droite ≠ limite à gauche : si $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) \neq \lim\limits_{x \to a^-} f(x)$, alors $f$ n'a pas de limite en $a$. Exemple : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ vérifie $\lim\limits_{x \to 0^+} f = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} f = -\infty$.

Limites & continuité — fiche révision

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À retenir

Exemple type

Pièges classiques