Intégrales — fiche révision

Courbe d'une fonction f positive entre a et b ; aire sous la courbe coloriée en bleu — cette aire est notée A et vaut l'intégrale de f entre a et b

Définition Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$, l'aire (en unités d'aire) sous $\mathcal{C}_f$ entre $a$ et $b$ vaut $\textcolor{#b91c1c}{\mathcal{A} = \int_a^b f(t)\,dt}$.

Lien avec une primitive Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et $F$ une primitive de $f$ : $\textcolor{#b91c1c}{\int_a^b f(t)\,dt = \bigl[F(t)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)}$.
Conventions : $\textcolor{#1d4ed8}{\int_a^a f = 0}$ ; $\textcolor{#1d4ed8}{\int_b^a f = -\int_a^b f}$.

Propriétés Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$.
Chasles : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$.
Positivité : $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ $\Rightarrow \int_a^b f \geqslant 0$.
Comparaison : $a \leqslant b$ et $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$ $\Rightarrow \int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.

Valeur moyenne Valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) : $\textcolor{#b91c1c}{\mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,dt}$.

Intégration par parties Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a\,;\,b]$ : $\textcolor{#b91c1c}{\int_a^b u'\,v\,dt = \bigl[u\,v\bigr]_a^b - \int_a^b u\,v'\,dt}$.
Stratégie : choisir $v$ qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln$) et $u'$ qui se primitive facilement ($e^t$, $\cos t$, $\sin t$).

$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Calcul d'aire
Calculer $\textcolor{#1d4ed8}{\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx}$.

Une primitive de $x \mapsto x^2$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.

$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3} - 0 = \textcolor{#b91c1c}{\dfrac{8}{3}}$.

Comme $x^2 \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$, cette intégrale est aussi l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre $0$ et $2$.

$\textcolor{#0284c7}{\blacksquare}$ Intégration par parties
Calculer $\textcolor{#1d4ed8}{\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt}$.

On pose $\textcolor{#1d4ed8}{v(t) = t}$ (se simplifie : $v'(t) = 1$) et $\textcolor{#1d4ed8}{u'(t) = e^t}$ (donc $u(t) = e^t$).

$\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt = \bigl[t\,e^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 e^t\,dt = e - 0 - \bigl[e^t\bigr]_0^1 = e - (e - 1) = \textcolor{#b91c1c}{1}$.

$\textcolor{#f97316}{\blacksquare}$ Valeur moyenne
Valeur moyenne de $f(x) = x$ sur $[0\,;\,4]$ :
$\mu = \dfrac{1}{4 - 0}\displaystyle\int_0^4 x\,dx = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \dfrac{1}{4} \times 8 = \textcolor{#b91c1c}{2}$.

Intégrale $\neq$ aire si $f < 0$ : l'égalité $\mathcal{A} = \int_a^b f$ n'est valable que si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$. Sinon, l'intégrale est algébrique : les portions où $f < 0$ comptent en négatif. Pour l'aire géométrique totale, calculer $\int_a^b |f(t)|\,dt$ (découper selon le signe de $f$).
Bornes inversées : $\int_b^a f = -\int_a^b f$. Si on échange les bornes, le signe change. Avant d'appliquer positivité ou comparaison, vérifier que $a \leqslant b$.
IPP : choix de $u'$ et $v$ : si on intervertit, le calcul devient plus compliqué qu'au départ. Règle pratique : $v$ doit se simplifier en dérivant (polynôme, $\ln$) et $u'$ doit être facile à primitiver ($e^t$, $\cos t$, $\sin t$).

Intégrales — fiche révision

Intégrales — fiche révision

À retenir

Exemple type

Pièges classiques