Définition $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. Notation $\exp(x) = e^x$, avec $e \approx 2{,}718$. Propriétés algébriques Pour tous $\textcolor{#1d4ed8}{a},\, \textcolor{#1d4ed8}{b} \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ : Dérivée & signe $(e^x)' = e^x$ ; composition : $\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\, e^{u(x)}$. LimitesÀ retenir
$$\begin{aligned}
e^{\textcolor{#1d4ed8}{a} + \textcolor{#1d4ed8}{b}} &= e^{\textcolor{#1d4ed8}{a}} \cdot e^{\textcolor{#1d4ed8}{b}} \quad ;\quad e^{-\textcolor{#1d4ed8}{a}} = \dfrac{1}{e^{\textcolor{#1d4ed8}{a}}} \\
\dfrac{e^{\textcolor{#1d4ed8}{a}}}{e^{\textcolor{#1d4ed8}{b}}} &= e^{\textcolor{#1d4ed8}{a} - \textcolor{#1d4ed8}{b}} \quad ;\quad \left(e^{\textcolor{#1d4ed8}{a}}\right)^n = e^{n\textcolor{#1d4ed8}{a}}
\end{aligned}$$
$\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $\textcolor{#b91c1c}{e^x > 0}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Croissances comparées : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\, e^x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$).
$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Équation et inéquation Par stricte croissance de $\exp$ : $\textcolor{#0284c7}{\blacksquare}$ Dérivée d'une composée $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$. Comme $e^{-x} > 0$, $f'(x)$ a le signe de $(1 - x)$ : $f' > 0$ sur $]-\infty\,;\,1[$ et $f' < 0$ sur $]1\,;+\infty[$. $f$ admet donc un maximum en $x = 1$, valeur $f(1) = \textcolor{#b91c1c}{\dfrac{1}{e}}$.Exemple type
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x} = e^{x+3}$ puis $e^{x} > 1$.
Soit $f(x) = x\, e^{-x}$. Étudier le signe de $f'(x)$.
Pièges classiques