Dérivation — fiche révision

Courbe représentative d'une fonction f en bleu avec sa tangente en rouge au point A d'abscisse a — la pente de la tangente vaut f'(a)

Nombre dérivé & tangente $\textcolor{#b91c1c}{f'(a)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ = pente de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A(a\,;\, f(a))$.
Équation de la tangente : $\textcolor{#b91c1c}{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$.

Dérivées usuelles

$(x^n)' = n\, x^{n-1}$ ; $(\sqrt{x}\,)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
$(e^x)' = e^x$ ; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ ; $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$

Opérations & composition
$(u + v)' = u' + v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Composition : $(g(u))' = u' \cdot g'(u)$. Cas utiles : $(e^u)' = u'\, e^u$ ; $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

Variations Sur un intervalle $I$ :
$f' \geqslant 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' \leqslant 0 \Rightarrow f$ décroissante.
Extremum local en $a$ ssi $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Équation de tangente
Soit $f(x) = x^2$. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $\textcolor{#b91c1c}{a = 2}$.

$f'(x) = 2x$, donc $f'(2) = 4$ et $f(2) = 4$.

Équation : $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 4(x - 2) + 4 = \textcolor{#b91c1c}{4x - 4}$.

$\textcolor{#f97316}{\blacksquare}$ Étude des variations
Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$. $f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$.

Tableau de variation de f(x) = x^3 - 3x : f' positif sur ]-∞;-1[, négatif sur ]-1;1[, positif sur ]1;+∞[ ; f croissante puis décroissante puis croissante avec maximum local 2 en -1 et minimum local -2 en 1

Maximum local $f(-1) = 2$ ; minimum local $f(1) = -2$.

$f(a)$ vs $f'(a)$ : $\textcolor{#1d4ed8}{f(a)}$ est l'ordonnée du point (sur la courbe), $\textcolor{#b91c1c}{f'(a)}$ est la pente de la tangente. Ne pas les intervertir dans l'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
$\mathbf{(uv)' \neq u' \cdot v'}$ : toujours utiliser $(uv)' = u'v + uv'$. De même $\left(\dfrac{u}{v}\right)' \neq \dfrac{u'}{v'}$ : appliquer la formule du quotient.
Composition : $u'$ oublié : $(g(u))' = u' \cdot g'(u)$. Exemple typique : $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$, pas $e^{x^2}$. Toujours dériver l'intérieur en premier.

Dérivation — fiche révision

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À retenir

Exemple type

Pièges classiques