Suites de référence $\lim n = +\infty$ ; $\lim n^k = +\infty$ ; $\lim \sqrt{n} = +\infty$ ; $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$ ($k \geqslant 1$). Limite de $q^n$ : voir fiche Suites. Opérations La limite d'une somme/produit/quotient se calcule terme à terme, sauf formes indéterminées : $\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\dfrac{0}{0}$ (factoriser le terme dominant pour lever l'indétermination). Comparaison & gendarmes Convergence monotoneÀ retenir
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
$\textcolor{#b91c1c}{\blacksquare}$ Théorème des gendarmes Pour tout $n \geqslant 1$ : $-1 \leqslant \sin n \leqslant 1$, donc en divisant par $n > 0$ : Or $\lim \textcolor{#1d4ed8}{\left(-\dfrac{1}{n}\right)} = \lim \textcolor{#16a34a}{\dfrac{1}{n}} = \textcolor{#b91c1c}{0}$, donc par le théorème des gendarmes, $\lim \textcolor{#b91c1c}{w_n} = \textcolor{#b91c1c}{0}$. $\textcolor{#7c3aed}{\blacksquare}$ Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $n^2$ (plus haute puissance) au numérateur et au dénominateur : Quand $n \to +\infty$, $\dfrac{2}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{4}{n^2} \to 0$, donc $\lim u_n = \dfrac{3}{1} = 3$.Exemple type
Montrer que $\textcolor{#b91c1c}{w_n} = \dfrac{\sin n}{n}$ converge pour $n \geqslant 1$.
$$\textcolor{#1d4ed8}{-\dfrac{1}{n}} \leqslant \textcolor{#b91c1c}{w_n} \leqslant \textcolor{#16a34a}{\dfrac{1}{n}}.$$
Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ avec $u_n = \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{n^2 + 4}$.
$$u_n = \dfrac{n^2 \left(3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(1 + \dfrac{4}{n^2}\right)} = \dfrac{3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{4}{n^2}}.$$
Pièges classiques