Calculer et simplifier avec des racines carrées

Pour tous nombres positifs $ a $ et $ b $ :

Pour simplifier une racine carrée $ \sqrt{n} $ :

Repérer le plus grand carré parfait ($ 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \ldots $) qui divise $ n $.
Écrire $ n $ comme le produit de ce carré parfait par un autre facteur.
Séparer la racine du produit en produit de racines, puis sortir le carré parfait de la racine.

Simplifier $ A = \sqrt{72} $.

Étape 1 : Le plus grand carré parfait qui divise $ 72 $ est $ 36 $ ($ 72 = 36 \times 2 $).

Étape 2 : On sépare la racine :

$ A = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} $

Étape 3 : On sort le carré parfait :

$ A = 6\sqrt{2} $

Calculer $ B = \sqrt{3} \times \sqrt{12} $.

On utilise la règle du produit :

$ B = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6 $

Écrire $ C = \sqrt{12} + \sqrt{27} $ sous la forme $ a\sqrt{3} $.

On simplifie chaque racine séparément :

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $ et $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} $

On peut alors additionner (mêmes racines) :

$ C = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $

On ne peut additionner ou soustraire que des racines identiques : $ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $, mais $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ ne se simplifie pas.
En général, $ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
On garde la valeur exacte (par exemple $ 5\sqrt{2} $) dans les calculs ; on ne donne une valeur approchée qu'à la fin, si l'énoncé le demande.