Représenter graphiquement une suite et conjecturer sa limite
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Pour représenter graphiquement une suite $ \left(u_{n}\right) $ et conjecturer son comportement pour les grandes valeurs de $ n $ :
- Étape 1 : calculer les premiers termes de la suite, pour un nombre suffisant de rangs (souvent entre $ 5 $ et $ 10 $).
- Étape 2 : placer dans un repère les points de coordonnées $ \left(n ; u_{n}\right) $. On obtient un nuage de points aligné avec les entiers sur l'axe des abscisses.
- Étape 3 : observer le comportement des valeurs de $ u_{n} $ pour les grandes valeurs de $ n $ :
- si les points se rapprochent d'une droite horizontale $ y=\ell $, alors on conjecture que la suite converge vers $ \ell $
- si les points « montent » ou « descendent » sans limite, alors la suite diverge vers $ \pm\infty $
- si les points « oscillent » sans se rapprocher d'une valeur fixe, alors la suite est divergente sans limite.
Cas d'une suite convergente
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour $ n\geqslant 1 $ par $ u_{n}=2+\dfrac{1}{n} $.
Étape 1 : calculer les premiers termes.
$ u_{1}=2+\dfrac{1}{1}=3 $
$ u_{2}=2+\dfrac{1}{2}=2{,}5 $
$ u_{3}=2+\dfrac{1}{3}\approx 2{,}33 $
$ u_{4}=2+\dfrac{1}{4}=2{,}25 $
$ u_{5}=2+\dfrac{1}{5}=2{,}2 $
$ u_{10}=2+\dfrac{1}{10}=2{,}1 $
$ u_{100}=2+\dfrac{1}{100}=2{,}01 $
Étape 2 : placer les points $ \left(1 ; 3\right) $, $ \left(2 ; 2{,}5\right) $, $ \left(3 ; 2{,}33\right) $, etc. dans un repère.
Étape 3 : on observe que les points se rapprochent de la droite horizontale $ y=2 $ lorsque $ n $ devient grand.
On conjecture donc que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge vers $ 2 $.
Cas d'une suite divergente
Soit la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie par récurrence :
Étape 1 : calculer les premiers termes.
$ v_{0}=1 $ ; $ v_{1}=3 $ ; $ v_{2}=5 $ ; $ v_{3}=7 $ ; $ v_{4}=9 $ ; $ v_{5}=11 $
Étape 2 : placer les points $ \left(0 ; 1\right) $, $ \left(1 ; 3\right) $, $ \left(2 ; 5\right) $, etc.
Étape 3 : les termes de la suite augmentent indéfiniment sans se rapprocher d'une valeur fixe.
On conjecture que la suite $ \left(v_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $.
Cas d'une suite oscillante
Soit la suite $ \left(w_{n}\right) $ définie pour $ n\in \mathbb{N} $ par $ w_{n}=\left( - 1\right)^{n} $.
Étape 1 : calculer les premiers termes.
$ w_{0}=1 $ ; $ w_{1}= - 1 $ ; $ w_{2}=1 $ ; $ w_{3}= - 1 $ ; $ w_{4}=1 $
Étape 2 : placer les points dans un repère.
Étape 3 : les valeurs oscillent entre $ 1 $ et $ - 1 $ sans se rapprocher d'une valeur unique.
La suite $ \left(w_{n}\right) $ est donc divergente (elle n'admet pas de limite).
Remarque
Une conjecture graphique n'est pas une démonstration. Elle permet seulement de formuler une hypothèse sur le comportement de la suite. Pour prouver rigoureusement qu'une suite converge vers une valeur $ \ell $, il faudra des outils vus plus tard (théorèmes de limites, encadrements, etc.).
Attention
Il faut calculer suffisamment de termes pour conjecturer la limite. Avec seulement les $ 3 $ ou $ 4 $ premiers termes, on peut se tromper : certaines suites se stabilisent très lentement, d'autres commencent par « monter » avant de « redescendre » vers leur limite.
En cas de doute, calculer aussi un terme très éloigné comme $ u_{100} $ ou $ u_{1000} $ à la calculatrice.