Calculer une distance sur une sphère
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La distance la plus courte entre deux points situés sur une sphère se mesure le long d'un arc de grand cercle.
Un grand cercle est un cercle tracé sur la sphère ayant le même centre et le même rayon que la sphère.
Méthode
Pour calculer la distance entre deux points sur une sphère (le long d'un grand cercle) :
- Déterminer l'angle au centre $ \alpha $ (en degrés) entre les deux points.
- Identifier le rayon $ R $ de la sphère.
- Appliquer la formule de la longueur d'arc :
Remarque
Cas particulier de la Terre : lorsque deux villes sont situées sur le même méridien (même longitude) ou sur l'équateur, l'angle $ \alpha $ se calcule facilement à partir de la différence de latitudes ou de longitudes.
Le rayon moyen de la Terre est $ R \approx 6~371 $ km.
Deux villes sur le même méridien
Paris ($ 49^{\circ} $ N) et Dakar ($ 15^{\circ} $ N) sont situées approximativement sur le même méridien. Calculer la distance qui les sépare le long de ce méridien. Donner l'arrondi au km.
Étape 1 : les deux villes sont dans l'hémisphère Nord. L'angle entre elles est la différence de leurs latitudes :
$ \alpha = 49^{\circ} - 15^{\circ} = 34^{\circ} $
Étape 2 : le rayon de la Terre est $ R = 6~371 $ km.
Étape 3 : on applique la formule :
$ L = \dfrac{34}{360} \times 2\pi \times 6~371 $
$ L = \dfrac{34}{360} \times 12~742\pi $
$ L \approx 3~781 $ km
La distance entre Paris et Dakar le long du méridien est environ 3 781 km.
Deux points dans des hémisphères différents
Deux villes sont situées sur le même méridien : l'une à $ 40^{\circ} $ N et l'autre à $ 20^{\circ} $ S. Calculer la distance qui les sépare le long de ce méridien. Donner l'arrondi au km.
Étape 1 : les deux villes sont dans des hémisphères différents (l'une au nord, l'autre au sud de l'équateur). L'angle entre elles est la somme de leurs latitudes :
$ \alpha = 40^{\circ} + 20^{\circ} = 60^{\circ} $
Étape 2 : le rayon de la Terre est $ R = 6~371 $ km.
Étape 3 : on applique la formule :
$ L = \dfrac{60}{360} \times 2\pi \times 6~371 $
$ L = \dfrac{1}{6} \times 12~742\pi $
$ L \approx 6~672 $ km
La distance entre les deux villes est environ 6 672 km.
Attention
- Si les deux points sont dans le même hémisphère (tous les deux N ou tous les deux S), l'angle est la différence des latitudes.
- Si les deux points sont dans des hémisphères différents (l'un N, l'autre S), l'angle est la somme des latitudes.
La même règle s'applique pour les longitudes de deux points situés sur l'équateur.