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Division euclidienne - Nombres premiers - PGCD Exercices

Rangement de billes

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

Léa possède une collection de billes. Elle remarque que :

  • si elle les range par paquets de $ 7 $, il lui en reste $ 3 $ ;
  • si elle les range par paquets de $ 5 $, il lui en reste $ 1 $ ;
  • si elle les range par paquets de $ 3 $, il ne lui en reste aucune.

On note $ n $ le nombre de billes de Léa. On sait que $ 50 < n < 120 $.

  1. Traduire chacune des trois conditions en termes de division euclidienne (on précisera le diviseur et le reste à chaque fois).
  2. Écrire tous les multiples de $ 3 $ compris entre $ 50 $ et $ 120 $.
  3. Parmi ces multiples de $ 3 $, lesquels ont un reste égal à $ 1 $ dans la division par $ 5 $ ?
  4. Parmi les nombres restants, lequel a un reste égal à $ 3 $ dans la division par $ 7 $ ? En déduire le nombre de billes de Léa.
  5. Vérifier le résultat en effectuant les trois divisions euclidiennes.

Corrigé

  1. Les trois conditions se traduisent ainsi :

    • Le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 7 $ est $ 3 $ : on peut écrire $ n = 7q_1 + 3 $.
    • Le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 5 $ est $ 1 $ : on peut écrire $ n = 5q_2 + 1 $.
    • Le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 3 $ est $ 0 $ : $ n $ est un multiple de $ 3 $, soit $ n = 3q_3 $.

  2. Les multiples de $ 3 $ compris entre $ 50 $ et $ 120 $ sont :

    $ 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120 $

  3. On cherche parmi ces multiples de $ 3 $ ceux qui ont un reste de $ 1 $ dans la division par $ 5 $, c'est-à-dire ceux qui se terminent par $ 1 $ ou $ 6 $.

    • $ 51 = 5 \times 10 + 1 $, le reste est bien $ 1 $
    • $ 66 = 5 \times 13 + 1 $, le reste est bien $ 1 $
    • $ 81 = 5 \times 16 + 1 $, le reste est bien $ 1 $
    • $ 96 = 5 \times 19 + 1 $, le reste est bien $ 1 $
    • $ 111 = 5 \times 22 + 1 $, le reste est bien $ 1 $

    Les nombres restants sont : $ 51 $, $ 66 $, $ 81 $, $ 96 $ et $ 111 $.

  4. On vérifie le reste de la division par $ 7 $ pour chacun :

    • $ 51 = 7 \times 7 + 2 $ : le reste est $ 2 $, ce nombre ne convient pas
    • $ 66 = 7 \times 9 + 3 $ : le reste est $ 3 $, ce nombre convient
    • $ 81 = 7 \times 11 + 4 $ : le reste est $ 4 $, ce nombre ne convient pas
    • $ 96 = 7 \times 13 + 5 $ : le reste est $ 5 $, ce nombre ne convient pas
    • $ 111 = 7 \times 15 + 6 $ : le reste est $ 6 $, ce nombre ne convient pas

    Seul $ 66 $ vérifie les trois conditions. Léa possède donc $ 66 $ billes.

  5. Vérification :

    • $ 66 = 7 \times 9 + 3 $ : le reste est bien $ 3 $
    • $ 66 = 5 \times 13 + 1 $ : le reste est bien $ 1 $
    • $ 66 = 3 \times 22 $ : $ 66 $ est bien un multiple de $ 3 $