Problème de restes : disposition en rangs
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Un professeur d'EPS veut disposer les élèves de sa classe en rangs égaux. Lorsqu'il les place par rangs de $ 6 $, il manque $ 2 $ élèves pour compléter le dernier rang. Lorsqu'il les place par rangs de $ 8 $, il manque également $ 2 $ élèves pour compléter le dernier rang.
On note $ n $ le nombre d'élèves de la classe. On sait que $ 20 < n < 40 $.
- Expliquer pourquoi le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 6 $ est $ 4 $.
- Expliquer pourquoi le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 8 $ est $ 6 $.
- Écrire tous les entiers compris entre $ 20 $ et $ 40 $ dont le reste dans la division par $ 6 $ est $ 4 $.
- Parmi ces entiers, lequel a également un reste égal à $ 6 $ dans la division par $ 8 $ ? Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?
Corrigé
Lorsqu'on dispose $ n $ élèves par rangs de $ 6 $, le dernier rang est incomplet et il manque $ 2 $ élèves pour le remplir. Ce dernier rang contient donc $ 6 - 2 = 4 $ élèves.
Cela signifie que $ n = 6 \times q + 4 $ pour un certain entier $ q $, donc le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 6 $ est bien $ 4 $.
De même, lorsqu'on dispose les élèves par rangs de $ 8 $, le dernier rang contient $ 8 - 2 = 6 $ élèves.
Donc $ n = 8 \times p + 6 $ pour un certain entier $ p $, et le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 8 $ est bien $ 6 $.
Les entiers entre $ 20 $ et $ 40 $ s'écrivant $ 6q + 4 $ sont :
- $ q = 3 $ : $ 6 \times 3 + 4 = 22 $
- $ q = 4 $ : $ 6 \times 4 + 4 = 28 $
- $ q = 5 $ : $ 6 \times 5 + 4 = 34 $
- $ q = 6 $ : $ 6 \times 6 + 4 = 40 $
On vérifie le reste de la division par $ 8 $ pour chacun :
- $ 22 = 8 \times 2 + 6 $, reste $ 6 $ (vérifié)
- $ 28 = 8 \times 3 + 4 $, reste $ 4 $
- $ 34 = 8 \times 4 + 2 $, reste $ 2 $
- $ 40 = 8 \times 5 + 0 $, reste $ 0 $
Seul $ 22 $ vérifie les deux conditions. La classe compte donc $ 22 $ élèves.