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Division euclidienne - Nombres premiers - PGCD Exercices

Nombres abondants et déficients

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

On appelle diviseurs propres d'un entier $ n \geqslant 2 $ tous ses diviseurs sauf lui-même. On note $ s(n) $ la somme des diviseurs propres de $ n $.

Définitions

Un entier $ n \geqslant 2 $ est dit :

  • déficient si $ s(n) < n $ ;
  • parfait si $ s(n) = n $ ;
  • abondant si $ s(n) > n $.

Exemple : les diviseurs propres de $ 18 $ sont $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 6 $ et $ 9 $, donc $ s(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 > 18 $ : le nombre $ 18 $ est abondant.

  1. Calculer $ s(n) $ pour chacun des nombres suivants, puis les classer en déficients, parfaits ou abondants :
    $ 6 $, $ 10 $, $ 15 $, $ 20 $, $ 28 $.
  2. Que peut-on dire de $ s(p) $ lorsque $ p $ est un nombre premier ? En déduire que tout nombre premier est déficient.
  3. Déterminer le plus petit nombre abondant. Pour cela, calculer $ s(n) $ pour les entiers $ n $ de $ 2 $ à $ 15 $ qui ne sont ni premiers ni déjà traités à la question 1.
    1. Calculer $ s(24) $. Le nombre $ 24 $ est-il abondant ?
    2. Calculer $ s(36) $. Le nombre $ 36 $ est-il abondant ?
    3. Que remarque-t-on ? Proposer une explication.

Corrigé

  1. $ n = 6 $ : diviseurs propres : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $. $ s(6) = 1 + 2 + 3 = 6 = n $, donc $ 6 $ est parfait.

    $ n = 10 $ : diviseurs propres : $ 1 $, $ 2 $, $ 5 $. $ s(10) = 1 + 2 + 5 = 8 < 10 $, donc $ 10 $ est déficient.

    $ n = 15 $ : diviseurs propres : $ 1 $, $ 3 $, $ 5 $. $ s(15) = 1 + 3 + 5 = 9 < 15 $, donc $ 15 $ est déficient.

    $ n = 20 $ : diviseurs propres : $ 1 $, $ 2 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 10 $. $ s(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20 $, donc $ 20 $ est abondant.

    $ n = 28 $ : diviseurs propres : $ 1 $, $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 14 $. $ s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = n $, donc $ 28 $ est parfait.

    Remarque

    $ 6 $ et $ 28 $ sont les deux plus petits nombres parfaits. Le suivant est $ 496 $.

  2. Si $ p $ est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont $ 1 $ et $ p $. Donc son seul diviseur propre est $ 1 $, et $ s(p) = 1 $.

    Comme $ p \geqslant 2 $, on a $ s(p) = 1 < p $, donc tout nombre premier est déficient.

  3. D'après la question 2, tous les nombres premiers ($ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $, $ 13 $) sont déficients. Il reste à tester les entiers composés de $ 2 $ à $ 15 $ non traités à la question 1 : $ 4 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 12 $, $ 14 $.

    • $ n = 4 $ : diviseurs propres $ 1 $, $ 2 $. $ s(4) = 3 < 4 $ : déficient.
    • $ n = 8 $ : diviseurs propres $ 1 $, $ 2 $, $ 4 $. $ s(8) = 7 < 8 $ : déficient.
    • $ n = 9 $ : diviseurs propres $ 1 $, $ 3 $. $ s(9) = 4 < 9 $ : déficient.
    • $ n = 12 $ : diviseurs propres $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $. $ s(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 $ : abondant.
    • $ n = 14 $ : diviseurs propres $ 1 $, $ 2 $, $ 7 $. $ s(14) = 10 < 14 $ : déficient.

    Tous les entiers de $ 2 $ à $ 11 $ sont déficients ou parfaits. Le plus petit nombre abondant est donc $\mathbf{12}$.

    1. Les diviseurs propres de $ 24 $ sont : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 8 $, $ 12 $.

      $ s(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 > 24 $, donc $ 24 $ est abondant.

    2. Les diviseurs propres de $ 36 $ sont : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 9 $, $ 12 $, $ 18 $.

      $ s(36) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55 > 36 $, donc $ 36 $ est abondant.

    3. Les nombres $ 12 $, $ 24 = 2 \times 12 $ et $ 36 = 3 \times 12 $ sont tous abondants. On remarque que $ 24 $ et $ 36 $ sont des multiples de $ 12 $.

      Cela s'explique : si $ d $ est un diviseur propre de $ 12 $, alors $ 2d $ est un diviseur propre de $ 24 $. Donc la somme des diviseurs propres de $ 24 $ est au moins le double de celle de $ 12 $, ce qui suffit à dépasser $ 24 $. Le même raisonnement s'applique à tout multiple d'un nombre abondant.