Chiffre des unités d’une grande puissance
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On s'intéresse au chiffre des unités de grandes puissances d'entiers.
Partie A — Découverte du cycle
- Calculer $ 7^1 $, $ 7^2 $, $ 7^3 $ et $ 7^4 $. Quel est le chiffre des unités de chacun de ces nombres ?
- Calculer $ 7^5 $. Que remarque-t-on pour le chiffre des unités ?
Compléter le tableau suivant :
Puissance $ 7^1 $ $ 7^2 $ $ 7^3 $ $ 7^4 $ $ 7^5 $ $ 7^6 $ $ 7^7 $ $ 7^8 $ Chiffre des unités - Que peut-on en déduire sur le chiffre des unités des puissances de $ 7 $ ?
Partie B — Application
- Effectuer la division euclidienne de $ 2026 $ par $ 4 $. Quel est le reste ?
- En déduire le chiffre des unités de $ 7^{2026} $.
- En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de $ 3^{2026} $.
- Défi : Déterminer le chiffre des unités de $ 2^{2026} + 3^{2026} + 7^{2026} $.
Corrigé
Partie A
$ 7^1 = 7 $, donc le chiffre des unités est $\mathbf{7}$.
$ 7^2 = 49 $, donc le chiffre des unités est $\mathbf{9}$.
$ 7^3 = 343 $, donc le chiffre des unités est $\mathbf{3}$.
$ 7^4 = 2401 $, donc le chiffre des unités est $\mathbf{1}$.
$ 7^5 = 16807 $, donc le chiffre des unités est $\mathbf{7}$.
On retrouve le même chiffre des unités que $ 7^1 $ : le cycle recommence.
Puissance $ 7^1 $ $ 7^2 $ $ 7^3 $ $ 7^4 $ $ 7^5 $ $ 7^6 $ $ 7^7 $ $ 7^8 $ Chiffre des unités $ 7 $ $ 9 $ $ 3 $ $ 1 $ $ 7 $ $ 9 $ $ 3 $ $ 1 $ Le chiffre des unités des puissances de $ 7 $ se répète selon un cycle de longueur $ 4 $ : $ 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \ldots $
Pour trouver le chiffre des unités de $ 7^n $, il suffit de connaître le reste de la division euclidienne de $ n $ par $ 4 $ :
- reste $ 1 $ : chiffre des unités $ 7 $
- reste $ 2 $ : chiffre des unités $ 9 $
- reste $ 3 $ : chiffre des unités $ 3 $
- reste $ 0 $ : chiffre des unités $ 1 $
Partie B
$ 2026 = 4 \times 506 + 2 $
Le reste de la division euclidienne de $ 2026 $ par $ 4 $ est $\mathbf{2}$.
D'après le cycle trouvé, lorsque l'exposant a un reste de $ 2 $ dans la division par $ 4 $, le chiffre des unités de $ 7^n $ est $ 9 $.
Donc le chiffre des unités de $ 7^{2026} $ est $\mathbf{9}$.
On détermine d'abord le cycle du chiffre des unités des puissances de $ 3 $ :
$ 3^1 = 3 $, $ 3^2 = 9 $, $ 3^3 = 27 $, $ 3^4 = 81 $.
Le cycle est $ 3, 9, 7, 1 $ et il est de longueur $ 4 $.
Le reste de $ 2026 $ dans la division par $ 4 $ est $ 2 $, donc le chiffre des unités de $ 3^{2026} $ est celui de $ 3^2 $, c'est-à-dire $\mathbf{9}$.
On cherche le chiffre des unités de $ 2^{2026} + 3^{2026} + 7^{2026} $.
Le cycle des puissances de $ 2 $ est : $ 2, 4, 8, 6 $ (longueur $ 4 $).
Le reste de $ 2026 $ par $ 4 $ est $ 2 $, donc le chiffre des unités de $ 2^{2026} $ est celui de $ 2^2 $, soit $\mathbf{4}$.
On a donc :
- Chiffre des unités de $ 2^{2026} $ : $ 4 $
- Chiffre des unités de $ 3^{2026} $ : $ 9 $
- Chiffre des unités de $ 7^{2026} $ : $ 9 $
Le chiffre des unités d'une somme ne dépend que du chiffre des unités de chaque terme :
$ 4 + 9 + 9 = 22 $
Le chiffre des unités de $ 2^{2026} + 3^{2026} + 7^{2026} $ est donc $\mathbf{2}$.