Trigonométrie
Exercices
Angles orientés et alignement
15 minutes
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Remarque
Pour aller plus loin : cet exercice s'appuie sur les angles orientés de vecteurs et la relation de Chasles sur les angles, une notion approfondie en classe de Terminale. Il dépasse le cadre strict du programme de Première et peut être abordé en approfondissement.
Dans la figure ci-dessus $ ABCD $ est un carré et $ CDE $ et $ BCF $ sont deux triangles équilatéraux.
- Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right) $.
Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right) $.
Donner une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right) $.
Montrer que les points $ A, E $ et $ F $ sont alignés.
Corrigé
- $ \left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right)= - \dfrac{\pi }{3} +2k\pi $.
car le triangle $ CED $ est équilatéral.
$ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right)= - \dfrac{\pi }{4} +2k\pi $.
car le triangle $ EFC $ est rectangle isocèle (le prouver !)
$ \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right)= - \dfrac{5\pi }{12}+2k\pi $.
car le triangle $ ADE $ est isocèle et l'angle $ \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DE}\right)= - \dfrac{\pi }{6}+2k\pi $ (le prouver !)
$ \left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EA}\right)=\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}\right)+\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\right)= - \pi +2k\pi $
Donc les points $ A, E $ et $ F $ sont alignés.