Conjecture et démonstration : différence de carrés

Durée estimée

20 minutes

Difficulté

On considère le programme Scratch suivant :

Expliquer ce que calculent les variables A et B en fonction de $ n $.
Exécuter le programme pour $ n = 3 $, puis pour $ n = 7 $. On détaillera les calculs.
Recopier et compléter le tableau suivant :

$ n $ $ 1 $ $ 2 $ $ 5 $ $ 10 $ $ 50 $

Résultat ... ... ... ... ...
Que peut-on conjecturer sur le lien entre $ n $ et le résultat affiché ?
Démontrer cette conjecture en développant les expressions de A et de B.

$ n $	$ 1 $	$ 2 $	$ 5 $	$ 10 $	$ 50 $
Résultat	...	...	...	...	...

Corrigé

La variable A calcule $ (n + 1) \times (n + 1) $, c'est-à-dire $\mathbf{(n + 1)^2}$ (le carré du successeur de $ n $).
La variable B calcule $ (n - 1) \times (n - 1) $, c'est-à-dire $\mathbf{(n - 1)^2}$ (le carré du prédécesseur de $ n $).
Le résultat est donc $ (n + 1)^2 - (n - 1)^2 $.
Pour $ n = 3 $ :
$ A = (3 + 1)^2 = 4^2 = 16 $
$ B = (3 - 1)^2 = 2^2 = 4 $
$ \text{résultat} = 16 - 4 = 12 $
Le lutin affiche 12.

Pour $ n = 7 $ :
$ A = (7 + 1)^2 = 8^2 = 64 $
$ B = (7 - 1)^2 = 6^2 = 36 $
$ \text{résultat} = 64 - 36 = 28 $
Le lutin affiche 28.
Le tableau complété :

$ n $ $ 1 $ $ 2 $ $ 5 $ $ 10 $ $ 50 $

Résultat $ 4 $ $ 8 $ $ 20 $ $ 40 $ $ 200 $

Pour $ n = 1 $ : $ 2^2 - 0^2 = 4 $. Pour $ n = 2 $ : $ 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 $.
Pour $ n = 5 $ : $ 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 $. Pour $ n = 10 $ : $ 11^2 - 9^2 = 121 - 81 = 40 $.
Pour $ n = 50 $ : $ 51^2 - 49^2 = 2601 - 2401 = 200 $.
On observe que le résultat est toujours égal à $ 4 \times n $. On conjecture que $\mathbf{(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = 4n}$.
On développe chaque expression à l'aide des identités remarquables.

$ (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 $
$ (n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1 $

On calcule la différence :
$ (n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) $
$ = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 $
$ = 4n $

La conjecture est démontrée : pour tout entier $ n $, $\mathbf{(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = 4n}$.