Isométries et conservation des grandeurs

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Citer les quatre isométries du plan vues au collège.
Un triangle $EFG$ a un périmètre de 24 cm et une aire de 20 cm². Son image par une rotation de centre $O$ et d'angle $90^{\circ}$ est le triangle $E'F'G'$.
1. Quel est le périmètre du triangle $E'F'G'$ ? Justifier.
2. Quelle est l'aire du triangle $E'F'G'$ ? Justifier.
Le segment $[EF]$ mesure 8 cm. Le point $E''$ est l'image de $E$ par la symétrie centrale de centre $A$, et $F''$ est l'image de $F$ par cette même symétrie.
1. Quelle est la longueur $E''F''$ ? Justifier.
2. Que peut-on dire du point $A$ par rapport au segment $[EE'']$ ? Justifier.
Parmi les transformations suivantes, laquelle n'est pas une isométrie : translation, symétrie axiale, homothétie, rotation ? Justifier.

Corrigé

Les quatre isométries du plan vues au collège sont :
- la symétrie axiale ;
- la symétrie centrale ;
- la translation ;
- la rotation.
1. La rotation conserve les longueurs, donc elle conserve aussi le périmètre.
  Le périmètre du triangle $E'F'G'$ est 24 cm.
2. La rotation conserve les aires.
  L'aire du triangle $E'F'G'$ est 20 cm².
1. La symétrie centrale conserve les longueurs.
  Donc $E''F'' = EF = $ 8 cm.
2. Par définition de la symétrie centrale de centre $A$, le point $A$ est le milieu du segment $[EE'']$.
L'homothétie n'est pas une isométrie. En effet, une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$. Si $|k| \neq 1$, les longueurs ne sont pas conservées, ce qui contredit la définition d'une isométrie.