1. Pour chacune des listes de longueurs ci-dessous, dire s'il est possible de construire un triangle dont les côtés ont ces mesures. Justifier la réponse.

   1. $7$ cm, $4$ cm et $2$ cm.
   2. $8$ cm, $5$ cm et $3$ cm.
   3. $6$ cm, $4$ cm et $5$ cm.
   4. $11$ cm, $7$ cm et $5$ cm.
2. Lou possède des bâtonnets identiques de $3$ cm. Peut-elle construire un triangle dont les côtés mesurent respectivement $1$ bâtonnet, $3$ bâtonnets et $5$ bâtonnets ? Justifier.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'inégalité triangulaire, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Trois longueurs $4$ cm, $5$ cm et $9$ cm permettent de construire un triangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le plus grand côté est $9$ cm et la somme des deux autres vaut $4 + 5 = 9$ cm.
On a $9 = 9$, donc l'inégalité stricte de l'inégalité triangulaire n'est pas respectée : les trois points sont alignés et il n'y a pas de triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $4 + 5 = 9$ : le plus grand côté est exactement égal à la somme des deux autres.
L'inégalité triangulaire impose un ordre strict : il n'y a pas de triangle, juste trois points alignés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $4 + 5 = 9$ : on est dans le cas limite où le triangle est aplati (points alignés), donc non valable.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour vérifier l'inégalité triangulaire, il suffit de comparer le plus grand côté à la somme des deux autres.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres, alors automatiquement chacun des autres côtés est aussi strictement inférieur à la somme des deux restants (puisqu'il est plus petit).
Une seule comparaison suffit donc, à condition d'avoir bien identifié le plus grand côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : il faut comparer le plus grand côté à la somme des deux autres.
Si cette inégalité est vérifiée, les autres le sont automatiquement, car les autres côtés sont plus petits.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comparer la plus grande longueur à la somme des deux autres suffit pour conclure.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si trois longueurs vérifient l'inégalité triangulaire, alors elles forment un triangle unique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Trois longueurs satisfaisant l'inégalité triangulaire déterminent un triangle à isométrie près (on peut le déplacer ou le retourner, mais sa forme est unique).
C'est précisément le cas d'égalité CCC qui le garantit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de penser qu'on peut « déformer » un triangle ayant trois côtés fixés.
En réalité, si on connaît les trois longueurs des côtés, le triangle est complètement déterminé : tous les triangles avec ces côtés sont superposables (cas d'égalité CCC).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Trois longueurs valides définissent un unique triangle (à déplacement et retournement près) : c'est le cas CCC.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle, chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité triangulaire s'applique en réalité aux trois côtés à la fois : chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
En pratique, il suffit de la vérifier sur le plus grand, mais elle reste vraie pour les autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'inégalité triangulaire concerne tous les côtés, mais on la vérifie habituellement uniquement sur le plus grand côté (puisque c'est le seul cas où elle peut échouer).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'énoncé général de l'inégalité triangulaire : chaque côté est plus petit que la somme des deux autres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent $7$ cm, $7$ cm et $15$ cm existe.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plus grand côté est $15$ cm, la somme des deux autres vaut $7 + 7 = 14$ cm.
$15 > 14$ : le triangle ne peut pas exister.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de penser que deux côtés égaux suffisent pour avoir un triangle isocèle.
Encore faut-il que le troisième côté respecte l'inégalité triangulaire : $15$ doit être strictement inférieur à $7 + 7 = 14$. Or ce n'est pas le cas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $15 > 7 + 7 = 14$ : l'inégalité triangulaire n'est pas respectée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABC$ est un triangle dans lequel $AB = 6$ cm et $BC = 11$ cm.

Affirmation : La longueur $AC$ peut valoir $4$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour que le triangle existe, $AC$ doit vérifier $11 - 6 < AC < 11 + 6$, soit $5 < AC < 17$.
$AC = 4$ ne vérifie pas $AC > 5$ (car alors le côté $BC = 11$ dépasserait la somme $AB + AC = 6 + 4 = 10$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifie l'inégalité triangulaire : $BC = 11$ doit être strictement plus petit que $AB + AC$.
Avec $AC = 4$, on aurait $AB + AC = 10$, ce qui est inférieur à $11$. Le triangle ne peut pas exister.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec $AC = 4$, la somme $AB + AC = 10$ est inférieure à $BC = 11$ : le triangle n'existe pas.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'inégalité triangulaire et la constructibilité d'un triangle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui[/option]
[option]Non[/option]
[option]Cela dépend des angles[/option]
[option]Seulement si le triangle est rectangle[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le plus grand côté mesure $6$ cm. La somme des deux autres vaut $3 + 4 = 7$ cm.
$6 < 7$, donc l'inégalité triangulaire est respectée : le triangle est constructible.[/reponse]
[reponse motif="Non"]Non.
Compare le plus grand côté ($6$ cm) à la somme des deux autres ($3 + 4 = 7$ cm).
$6$ est strictement inférieur à $7$.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend des angles"]Non.
Pour décider si un triangle est constructible, on n'a besoin que des trois longueurs.
Vérifie l'inégalité triangulaire avec les trois côtés.[/reponse]
[reponse motif="Seulement si le triangle est rectangle"]Non.
Un triangle peut être constructible sans être rectangle.
La condition à vérifier porte uniquement sur les longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare le plus grand côté à la somme des deux autres et applique l'inégalité triangulaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $2$ cm, $5$ cm et $8$ cm ?
[qcm]
[option]Oui[/option]
[option correct="true"]Non[/option]
[option]Oui, mais c'est un triangle aplati[/option]
[option]On ne peut pas savoir[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le plus grand côté est $8$ cm. La somme des deux autres vaut $2 + 5 = 7$ cm.
$8 > 7$, donc le plus grand côté dépasse la somme des deux autres : le triangle n'est pas constructible.[/reponse]
[reponse motif="Oui"]Non.
Le plus grand côté ($8$ cm) est plus grand que la somme des deux autres ($2 + 5 = 7$ cm).
L'inégalité triangulaire n'est pas respectée.[/reponse]
[reponse motif="Oui, mais c'est un triangle aplati"]Pas tout à fait.
Un triangle aplati correspond au cas d'égalité (le plus grand côté est égal à la somme des deux autres).
Ici, $8 > 7$ : on est strictement au-delà.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir"]Non.
Les trois longueurs suffisent pour décider, en comparant le plus grand côté à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare $8$ à $2 + 5 = 7$ et applique l'inégalité triangulaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $4$ cm, $4$ cm et $8$ cm ?
[qcm]
[option]Oui, c'est un triangle isocèle[/option]
[option correct="true"]Non[/option]
[option]Oui, c'est un triangle équilatéral[/option]
[option]Cela dépend des angles[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté est $8$ cm. La somme des deux autres vaut $4 + 4 = 8$ cm.
On a $8 = 8$. Or l'inégalité triangulaire est stricte : il faut que le plus grand côté soit strictement inférieur à la somme des deux autres.
Les trois points seraient alignés : on n'obtient pas un véritable triangle.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est un triangle isocèle"]Non.
Si les trois points existent, deux côtés égaux suffiraient pour qualifier le triangle d'isocèle, mais ici la condition de constructibilité n'est pas remplie.
Compare $8$ à $4 + 4$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est un triangle équilatéral"]Non.
Pour être équilatéral, les trois côtés doivent être égaux, ce qui n'est pas le cas ici.
Et il faut d'abord vérifier que le triangle est constructible.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend des angles"]Non.
La constructibilité ne dépend que des longueurs.
Compare le plus grand côté à la somme des deux autres avec l'inégalité stricte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'inégalité triangulaire est stricte : le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres. Compare $8$ à $4 + 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois villes $A$, $B$ et $C$ vérifient $AB = 12$ km, $BC = 7$ km et $AC = 9$ km. Forment-elles un triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui[/option]
[option]Non[/option]
[option]Oui seulement si elles sont alignées[/option]
[option]Non, car $12 > 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le plus grand côté est $AB = 12$ km.
La somme des deux autres vaut $BC + AC = 7 + 9 = 16$ km.
$12 < 16$, donc l'inégalité triangulaire est respectée : les trois villes forment bien un triangle.[/reponse]
[reponse motif="Non"]Non.
Le plus grand côté ($12$ km) est strictement plus petit que la somme des deux autres ($7 + 9 = 16$ km).
Refais le calcul de cette somme.[/reponse]
[reponse motif="Oui seulement si elles sont alignées"]Non.
Si les trois points étaient alignés, le plus grand côté serait égal à la somme des deux autres.
Ici, $12 < 16$, on a un véritable triangle non aplati.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $12 > 7$"]Non.
Il ne faut pas comparer le plus grand côté à un seul des deux autres, mais à leur somme.
Calcule $7 + 9$ et compare à $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare le plus grand côté ($12$ km) à la somme des deux autres ($7 + 9$ km).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois longueurs $a$, $b$ et $c$ sont données avec $a \leqslant b \leqslant c$. Quelle condition permet de construire un triangle ?
[qcm]
[option]$a + b \leqslant c$[/option]
[option correct="true"]$c < a + b$[/option]
[option]$a + b + c = 180$[/option]
[option]$a = b = c$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La condition de constructibilité est l'inégalité triangulaire stricte appliquée au plus grand côté : il doit être strictement inférieur à la somme des deux autres, soit $c < a + b$.[/reponse]
[reponse motif="$a + b \leqslant c$"]Non.
Cette condition produit l'inverse : si $c$ est supérieur ou égal à $a + b$, le triangle n'est pas constructible.
Le bon symbole d'inégalité doit être strict, et dans l'autre sens.[/reponse]
[reponse motif="$a + b + c = 180$"]Non.
$180^{\circ}$ correspond à la somme des angles d'un triangle, pas à la somme des côtés.
Ici on parle de longueurs, en cm ou en mètres.[/reponse]
[reponse motif="$a = b = c$"]Non.
C'est la condition pour que le triangle soit équilatéral, pas pour qu'il soit constructible.
Un triangle peut être constructible sans avoir trois côtés égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on a $AB = 5$ cm et $AC = 8$ cm. Combien de valeurs entières strictement positives la longueur $BC$ peut-elle prendre ?
[qcm]
[option]$13$ valeurs[/option]
[option]$8$ valeurs[/option]
[option correct="true"]$9$ valeurs[/option]
[option]$5$ valeurs[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'inégalité triangulaire impose deux conditions : $BC < AB + AC = 13$ et $BC > AC - AB = 3$.
Donc $3 < BC < 13$. Les entiers possibles sont $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$, soit $9$ valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$13$ valeurs"]Non.
Tu as compté toutes les valeurs entières strictement positives jusqu'à $13$, mais $BC$ doit aussi être strictement supérieur à $AC - AB = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ valeurs"]Pas tout à fait.
Vérifie les bornes : $BC$ doit être strictement entre $3$ et $13$. Compte bien les entiers de $4$ à $12$ inclus.[/reponse]
[reponse motif="$5$ valeurs"]Non.
Tu as peut-être oublié certaines valeurs.
Liste les entiers vérifiant $3 < BC < 13$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$BC$ doit être strictement supérieur à $|AC - AB|$ et strictement inférieur à $AB + AC$. Compte les entiers possibles entre ces bornes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]