1. Calculer la distance entre les nombres réels suivants :

   1. $ 3 $ et $ -5 $
   2. $ -2 $ et $ -7 $
   3. $ \sqrt{2} $ et $ -\sqrt{2} $

2. Calculer les valeurs absolues suivantes :

   1. $ |4 - 9| $
   2. $ |\sqrt{3} - 2| $
   3. $ |{-\pi} + 3| $

3. Résoudre les équations suivantes :

   1. $ |x - 3| = 5 $
   2. $ |x + 2| = 4 $
   3. $ |x| = -1 $

4. Résoudre les inéquations suivantes et écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :

   1. $ |x - 1| \leqslant 3 $
   2. $ |x + 4| < 2 $

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'égalité $\left| x \right| = -x$ est vraie uniquement si $x = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout réel $x$ négatif ou nul ($x \leqslant 0$), pas uniquement pour $x = 0$. Par exemple, $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que $-x$ est toujours négatif — or si $x \leqslant 0$, alors $-x \geqslant 0$, ce qui est bien compatible avec une valeur absolue.
$\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout $x \leqslant 0$. Par exemple, $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$. Ce n'est pas réservé à $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout $x \leqslant 0$ (pas seulement pour $x = 0$), car si $x$ est négatif, $-x$ est positif. Exemple : $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\left| x \right| = -1$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, elle ne peut jamais être égale à $-1$. L'équation n'admet aucune solution : $S = \varnothing$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'appliquer la méthode habituelle ($x = 1$ ou $x = -1$) sans vérifier d'abord que le second membre est positif ou nul.
$\left| x \right| \geqslant 0$ pour tout réel $x$ : une valeur absolue ne peut pas être négative. L'équation $\left| x \right| = -1$ n'a donc aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc $\left| x \right| = -1$ est impossible. L'ensemble des solutions est vide : $S = \varnothing$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $\left| x - 1 \right| = 2$ est $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x - 1 \right| = 2$ signifie que la distance entre $x$ et $1$ sur la droite des réels vaut $2$. On trouve $x = 1 - 2 = -1$ ou $x = 1 + 2 = 3$, donc $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier l'un des deux cas lors de la résolution de $\left| x - 1 \right| = 2$.
$\left| x - 1 \right| = 2$ donne $x - 1 = 2$ soit $x = 3$, ou $x - 1 = -2$ soit $x = -1$. Donc $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left| x - 1 \right| = 2$ donne deux cas : $x - 1 = 2$ soit $x = 3$, ou $x - 1 = -2$ soit $x = -1$. Donc $S = \{-1 ; 3\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left| 2\pi - 6 \right| = 2\pi - 6$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\pi > 3$ donc $2\pi > 6$, ce qui signifie que $2\pi - 6 > 0$. Tout nombre positif étant égal à sa valeur absolue, on a bien $\left| 2\pi - 6 \right| = 2\pi - 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que $2\pi - 6$ est négatif car $6$ est grand — or $\pi \approx 3{,}14$, donc $2\pi \approx 6{,}28 > 6$.
$\pi \approx 3{,}14$ donc $2\pi \approx 6{,}28 > 6$ : $2\pi - 6$ est positif. La valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\pi > 3$, on a $2\pi > 6$, donc $2\pi - 6 > 0$. La valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{2}$ est solution de l'inéquation $\left| x - 1 \right| < 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ donc $\sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414$, et $\left| \sqrt{2} - 1 \right| \approx 0{,}414 < 1$ : $\sqrt{2}$ est bien solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de substituer $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ dans l'inéquation sans calculer la valeur absolue, ou de confondre $\left| \sqrt{2} - 1 \right|$ et $\sqrt{2}$.
$\left| \sqrt{2} - 1 \right| = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414 < 1$ : la condition est vérifiée, $\sqrt{2}$ est bien solution de l'inéquation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule : $\left| \sqrt{2} - 1 \right| = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414 < 1$. Donc $\sqrt{2}$ vérifie bien l'inéquation.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ est $S = \left[ -1~;~3 \right]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ équivaut à $-2 \leqslant x + 1 \leqslant 2$, soit $-3 \leqslant x \leqslant 1$. L'ensemble des solutions est $S = \left[ -3~;~1 \right]$, pas $\left[ -1~;~3 \right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de résoudre $\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ comme si c'était $\left| x - 1 \right| \leqslant 2$, en prenant $1$ comme centre de l'intervalle au lieu de $-1$.
$\left| x + 1 \right| \leqslant 2 \Leftrightarrow -2 \leqslant x + 1 \leqslant 2 \Leftrightarrow -3 \leqslant x \leqslant 1$. La bonne réponse est $S = \left[ -3~;~1 \right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left| x + 1 \right| \leqslant 2 \Leftrightarrow -2 \leqslant x+1 \leqslant 2 \Leftrightarrow -3 \leqslant x \leqslant 1$. L'ensemble des solutions est $S = [-3 ; 1]$, pas $[-1 ; 3]$.
[/solution]
[/etape]