Vrai/Faux : Combinaisons et coefficients binomiaux
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les combinaisons et les coefficients binomiaux, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, on a $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Choisir $0$ élément parmi $n$ : il y a une seule façon (l'ensemble vide), donc $\binom{n}{0} = 1$.
Choisir les $n$ éléments parmi $n$ : il y a aussi une seule façon, donc $\binom{n}{n} = 1$.
La formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ donne aussi $\dfrac{n!}{0! \, n!} = 1$ et $\dfrac{n!}{n! \, 0!} = 1$ avec la convention $0! = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\binom{n}{k}$ compte le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
Il existe une seule partie sans aucun élément (l'ensemble vide) et une seule partie contenant tous les éléments, d'où $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a toujours $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\binom{12}{4} = \binom{12}{8}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Choisir $4$ éléments parmi $12$ revient à choisir les $8$ qui restent : c'est la propriété de symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Ici $\binom{12}{4} = \binom{12}{12-4} = \binom{12}{8} = 495$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour tout $0 \leqslant k \leqslant n$, on a $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (propriété de symétrie).
Choisir les $4$ éléments retenus ou les $8$ éléments rejetés détermine la même partie, d'où $\binom{12}{4} = \binom{12}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par symétrie, $\binom{12}{4} = \binom{12}{8} = 495$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Une classe compte $30$ élèves. On choisit $3$ délégués (sans hiérarchie entre eux).
Affirmation : Le nombre de choix possibles est $A_{30}^{3} = 30 \times 29 \times 28$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Sans hiérarchie entre les délégués, l'ordre n'a pas d'importance : il s'agit d'une combinaison.
Le nombre de choix est $\binom{30}{3} = \dfrac{30 \times 29 \times 28}{6} = 4\,060$, et non $A_{30}^3 = 24\,360$ (qui distinguerait par exemple un président, un vice-président et un trésorier).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de compter l'ordre des délégués alors que rien ne le justifie ici.
Quand on choisit $k$ éléments sans tenir compte de l'ordre, on utilise $\binom{n}{k}$ : ici $\binom{30}{3} = 4\,060$, soit $6$ fois moins que $A_{30}^3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans hiérarchie, le nombre de choix est $\binom{30}{3} = 4\,060$ (combinaison), pas $A_{30}^3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on a $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la formule du triangle de Pascal : la somme de deux coefficients consécutifs d'une ligne donne le coefficient situé en dessous (entre eux deux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la formule de Pascal s'écrit $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ et permet de construire le triangle de Pascal de proche en proche.
On peut la vérifier numériquement, par exemple : $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10 = \binom{5}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de Pascal, qui justifie la construction du triangle de Pascal.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3!}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule correcte est $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \, (n-k)!}$, le facteur $(n-k)!$ ne doit pas être oublié.
Ici $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$, alors que $\dfrac{10!}{3!} = 604\,800$ : les deux quantités n'ont rien à voir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le dénominateur de $\binom{n}{k}$ contient deux factorielles : $k!$ et $(n-k)!$.
Ici la formule donne $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = 120$. Sans le facteur $7!$, on obtient $\dfrac{10!}{3!} = 604\,800$, ce qui est très loin du résultat correct.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \, 7!} = 120$ (le facteur $7!$ manque).
[/solution]
[/etape]
[etape]
On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes.
Affirmation : Le nombre de mains possibles est $\binom{32}{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un tirage simultané ne tient pas compte de l'ordre des cartes : on choisit une partie de $5$ cartes parmi $32$.
Le nombre de mains est donc $\binom{32}{5} = 201\,376$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « simultanément » signifie que l'ordre dans lequel on prend les cartes n'a pas d'importance. C'est exactement la situation modélisée par une combinaison.
Le nombre de mains est $\binom{32}{5} = 201\,376$. Si l'ordre comptait, on utiliserait $A_{32}^5$ (qui est $5!$ fois plus grand).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Un tirage simultané de $5$ cartes parmi $32$ donne $\binom{32}{5} = 201\,376$ mains.
[/solution]
[/etape]