Pour chacun des triangles suivants, donner sa nature (isocèle, équilatéral, rectangle ou quelconque) et calculer la mesure demandée.

1. Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = 5 $ cm, $ AC = 5 $ cm et $ BC = 7 $ cm. Préciser sa nature et le sommet principal.
2. Le triangle $ DEF $ vérifie $ DE = DF = EF = 6 $ cm. Donner sa nature et la mesure de chacun de ses angles.
3. Le triangle $ GHI $ vérifie $ \widehat{GHI} = 90° $ et $ \widehat{HGI} = 35° $. Donner sa nature et calculer la mesure de l'angle $ \widehat{HIG} $.
4. Le triangle $ JKL $ vérifie $ \widehat{JKL} = 70° $, $ \widehat{KLJ} = 70° $ et $ JK = 4 $ cm. Donner sa nature et préciser la longueur d'un autre côté.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les triangles particuliers (vocabulaire et propriétés), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Tout triangle équilatéral est isocèle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Il a donc en particulier deux côtés de même longueur, ce qui est précisément la définition d'un triangle isocèle. Le triangle équilatéral est même isocèle « de toutes les manières possibles » (pour chacun des trois sommets).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « équilatéral » impose trois côtés égaux, donc en particulier deux côtés égaux.
Un triangle équilatéral est donc un cas particulier de triangle isocèle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le triangle équilatéral est un cas particulier (très particulier) de triangle isocèle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la définition même de l'hypoténuse : dans un triangle rectangle, c'est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long des trois côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est par définition le côté qui ne touche pas l'angle droit (donc opposé à cet angle).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle, les trois angles sont toujours égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un triangle isocèle a deux angles à la base de même mesure, mais l'angle au sommet est en général différent (sauf si le triangle est aussi équilatéral).
Par exemple, un triangle isocèle d'angle au sommet $40°$ a deux angles à la base de $70°$ chacun, donc les trois angles ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre isocèle et équilatéral.
Dans un triangle isocèle, seuls deux angles sont égaux (les angles à la base), pas les trois.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Dans un triangle isocèle non équilatéral, seuls les deux angles à la base sont égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un triangle a deux angles de $60°$, alors il est équilatéral.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le troisième angle vaut $180° - 60° - 60° = 60°$. Les trois angles sont donc égaux à $60°$, et un triangle dont les trois angles sont égaux est équilatéral.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calcule le troisième angle : $180° - 60° - 60° = 60°$.
Un triangle aux trois angles égaux est nécessairement équilatéral.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le troisième angle vaut aussi $60°$, donc le triangle a trois angles égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un triangle rectangle isocèle a un angle droit ($90°$) et deux côtés de même longueur (les deux côtés de l'angle droit). Ses deux angles aigus mesurent alors chacun $45°$. Cela existe parfaitement : c'est le « demi-carré ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense au demi-carré : il a un angle droit et deux côtés égaux.
Ses deux angles aigus valent chacun $45°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le triangle rectangle isocèle (demi-carré) a un angle droit et deux côtés de même longueur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le sommet principal d'un triangle isocèle est toujours le sommet de l'angle le plus grand.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le sommet principal d'un triangle isocèle est le sommet commun aux deux côtés de même longueur, par définition. Cet angle peut être plus grand que les angles à la base (cas obtusangle, ex : $100°$, $40°$, $40°$) ou plus petit (cas aigu, ex : $40°$, $70°$, $70°$). Donc l'angle au sommet n'est pas toujours le plus grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le sommet principal est défini par les côtés, pas par les angles.
Un triangle isocèle de côtés très allongés a un sommet principal d'angle petit, et deux angles à la base plus grands.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le sommet principal est défini comme le sommet commun aux deux côtés égaux ; son angle peut être plus petit ou plus grand que les angles à la base.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les triangles particuliers : isocèle, équilatéral et rectangle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{BAC} = 40°$. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ ?
[qcm]
[option]$40°$[/option]
[option correct="true"]$70°$[/option]
[option]$140°$[/option]
[option]$50°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un triangle isocèle en $A$, les deux angles à la base ($\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$) sont égaux.
Comme la somme des angles vaut $180°$, on a $\widehat{ABC} = \dfrac{180° - 40°}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°$.[/reponse]
[reponse motif="$40°$"]Non.
$40°$ est la mesure de l'angle au sommet $\widehat{BAC}$.
Les angles à la base sont différents et il faut les calculer.[/reponse]
[reponse motif="$140°$"]Non.
$140°$ correspond à $180° - 40°$, c'est-à-dire à la somme des deux angles à la base.
Il faut diviser cette somme par deux pour obtenir un seul angle à la base.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
Cette valeur correspondrait à un calcul $90° - 40°$, qui ne s'applique pas ici.
Pense à utiliser la somme des angles ($180°$) et la propriété des angles à la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise la somme des angles d'un triangle et le fait que les deux angles à la base sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $DEF$ est équilatéral. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{DEF}$ ?
[qcm]
[option]$45°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[option correct="true"]$60°$[/option]
[option]$180°$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux. Comme leur somme vaut $180°$, chaque angle mesure $\dfrac{180°}{3} = 60°$.[/reponse]
[reponse motif="$45°$"]Non.
$45°$ correspond à la moitié d'un angle droit.
Pense plutôt à diviser $180°$ par le nombre d'angles égaux dans un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
Un angle de $90°$ correspond à un triangle rectangle, pas équilatéral.
Combien d'angles égaux possède un triangle équilatéral ?[/reponse]
[reponse motif="$180°$"]Non.
$180°$ est la somme des trois angles d'un triangle, pas la mesure d'un seul angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux ; calcule chaque angle à partir de la somme $180°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ avec $\widehat{RST} = 28°$. Quelle est la mesure de $\widehat{RTS}$ ?
[qcm]
[option]$28°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[option correct="true"]$62°$[/option]
[option]$152°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un triangle rectangle en $R$, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.
Donc $\widehat{RTS} = 90° - 28° = 62°$.[/reponse]
[reponse motif="$28°$"]Non.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle ne sont pas forcément égaux.
Ils sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
$90°$ est l'angle droit en $R$.
On te demande l'autre angle aigu.[/reponse]
[reponse motif="$152°$"]Non.
$152°$ correspond à $180° - 28°$, ce qui ignore le fait que l'angle en $R$ vaut déjà $90°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut $90°$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un triangle $ABC$ a des angles de mesures $50°$, $80°$ et $50°$. Quelle est sa nature ?
[qcm]
[option]Triangle équilatéral[/option]
[option]Triangle rectangle[/option]
[option correct="true"]Triangle isocèle[/option]
[option]Triangle quelconque[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme $50° + 80° + 50° = 180°$ est correcte, et deux angles sont égaux ($50°$). Or si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.[/reponse]
[reponse motif="Triangle équilatéral"]Non.
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à $60°$.
Ici, les angles ne sont pas tous égaux.[/reponse]
[reponse motif="Triangle rectangle"]Non.
Un triangle rectangle possède un angle de $90°$.
Aucun des angles ici n'est égal à $90°$.[/reponse]
[reponse motif="Triangle quelconque"]Non.
Un triangle quelconque n'a aucune particularité.
Or ici, deux angles sont égaux : il y a une particularité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cherche s'il y a deux angles égaux, un angle droit, ou trois angles égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$ rectangle isocèle en $A$, quelle est la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ ?
[qcm]
[option]$30°$[/option]
[option]$60°$[/option]
[option correct="true"]$45°$[/option]
[option]$90°$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le triangle est rectangle en $A$, donc $\widehat{BAC} = 90°$. Les deux angles aigus $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ ont pour somme $180° - 90° = 90°$.
De plus, le triangle est isocèle en $A$, donc $AB = AC$ et les deux angles à la base sont égaux. Chacun mesure donc $\dfrac{90°}{2} = 45°$.[/reponse]
[reponse motif="$30°$"]Non.
$30°$ ne correspond pas à la moitié de $90°$.
Pense aux deux angles aigus égaux dont la somme vaut $90°$.[/reponse]
[reponse motif="$60°$"]Non.
$60°$ correspondrait à un triangle équilatéral.
Dans un triangle rectangle isocèle, les deux angles aigus sont égaux et complémentaires.[/reponse]
[reponse motif="$90°$"]Non.
$90°$ est l'angle droit en $A$.
On te demande un autre angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le triangle est à la fois rectangle et isocèle : utilise les deux propriétés pour trouver les angles aigus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $LMN$, on sait que $LM = LN$ et $\widehat{LMN} = 65°$. Quelle est la mesure de $\widehat{MLN}$ ?
[qcm]
[option]$65°$[/option]
[option]$115°$[/option]
[option correct="true"]$50°$[/option]
[option]$25°$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le triangle est isocèle en $L$ (car $LM = LN$), donc les angles à la base sont égaux : $\widehat{LMN} = \widehat{LNM} = 65°$.
La somme des angles donne $\widehat{MLN} = 180° - 65° - 65° = 50°$.[/reponse]
[reponse motif="$65°$"]Non.
$65°$ est la mesure des angles à la base, pas du sommet principal.
L'angle au sommet $\widehat{MLN}$ est généralement différent.[/reponse]
[reponse motif="$115°$"]Non.
$115°$ correspond à $180° - 65°$, c'est-à-dire au supplémentaire d'un seul angle à la base.
Il faut soustraire les deux angles à la base à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
$25°$ correspond à $90° - 65°$, qui ne s'applique pas ici (le triangle n'est pas rectangle).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le triangle est isocèle en $L$ : les deux angles à la base sont égaux à $65°$. Utilise la somme des angles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]