Vrai/Faux : Propriétés de la translation

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la translation et ses propriétés, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une translation est entièrement définie par une direction, un sens et une longueur.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ces trois données caractérisent le glissement appliqué à chaque point : la droite suivie (direction), le côté vers lequel on glisse (sens) et la distance parcourue (longueur).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : transformer une figure par translation, c'est la faire glisser. Ce glissement se décrit par sa direction, son sens et sa longueur, exactement comme un vecteur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une translation se définit par une direction, un sens et une longueur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On applique une translation à une figure.

Affirmation : La figure obtenue et la figure de départ n'ont pas forcément la même aire.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une translation conserve les aires : la figure et son image sont superposables, donc elles occupent exactement la même surface.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre déplacer et déformer. Une translation fait seulement glisser la figure : elle ne change ni sa forme ni ses dimensions.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La translation conserve les aires : la figure et son image ont la même aire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. On appelle $A'$, $B'$ et $C'$ leurs images par une même translation.

Affirmation : Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont eux aussi alignés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une translation conserve l'alignement : trois points alignés ont pour images trois points alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : parmi les grandeurs conservées par une translation figure l'alignement. Des points alignés restent alignés après le glissement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La translation conserve l'alignement des points.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une translation peut retourner une figure, comme le ferait un miroir.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Contrairement à une symétrie, une translation ne retourne pas la figure : elle la fait seulement glisser sans la tourner ni la renverser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre translation et symétrie axiale. La translation se contente de faire glisser la figure ; c'est la symétrie qui produit un effet de miroir.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une translation fait glisser la figure sans la retourner ; seule une symétrie produit un effet de miroir.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le point $M'$ est l'image du point $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, et $M$ n'appartient pas à la droite $(AB)$.

Affirmation : Le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Comme $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$, les côtés $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur : le quadrilatère $ABM'M$ est bien un parallélogramme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, on a $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$, ce qui caractérise un parallélogramme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Puisque $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$, le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux vecteurs qui ont la même longueur sont forcément égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La longueur ne suffit pas : deux vecteurs sont égaux seulement s'ils ont aussi la même direction et le même sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier deux des trois critères. L'égalité de deux vecteurs exige trois conditions, pas seulement l'égalité des longueurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
[/solution]
[/etape]

Construire l’image d’un trapèze et calculer son aire

Sur un quadrillage où chaque carreau mesure $ 1 $ cm de côté, on a tracé un trapèze $ ABCD $ et un point $ E $.

Trapèze rectangle ABCD sur quadrillage avec un point E à droite, vecteur AE schématisé

Démontrer que $ ABCD $ est un trapèze rectangle. Préciser les longueurs de ses côtés parallèles et de sa hauteur.
Calculer l'aire du trapèze $ ABCD $.
Sur le quadrillage, construire $ A'B'C'D' $, l'image du trapèze $ ABCD $ par la translation qui transforme $ A $ en $ E $.
Sans faire de nouveau calcul, donner l'aire du trapèze $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
Déterminer la nature du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier.

Corrigé

En lisant les coordonnées sur le quadrillage :
- Le segment $ [AD] $ est vertical : $ AD = 3 - 1 = 2 $ cm.
- Le segment $ [BC] $ est vertical : $ BC = 4 - 1 = 3 $ cm.
- Le segment $ [AB] $ est horizontal : $ AB = 5 - 1 = 4 $ cm.
Comme $ [AD] $ et $ [BC] $ sont tous les deux verticaux, ils sont parallèles. Le quadrilatère $ ABCD $ possède donc deux côtés parallèles : c'est un trapèze.

De plus, le côté $ [AB] $ est horizontal, donc perpendiculaire aux deux côtés parallèles $ [AD] $ et $ [BC] $. Le trapèze $ ABCD $ possède deux angles droits consécutifs en $ A $ et en $ B $.

ABCD est donc un trapèze rectangle, dont les côtés parallèles mesurent $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm, et dont la hauteur est $ AB = 4 $ cm.
L'aire d'un trapèze de bases $ b $ et $ B $ et de hauteur $ h $ est donnée par :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(b + B) \times h}{2} $

Avec $ b = AD = 2 $ cm, $ B = BC = 3 $ cm et $ h = AB = 4 $ cm :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(2 + 3) \times 4}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 $ cm²

L'aire du trapèze $ ABCD $ vaut 10 cm².
La translation qui transforme $ A $ en $ E $ correspond à un déplacement de $ 3 $ carreaux vers la droite et de $ 2 $ carreaux vers le haut (lecture des coordonnées de $ A(1\,;\,1) $ à $ E(4\,;\,3) $).

On applique le même déplacement à chaque sommet du trapèze :
- $ A(1\,;\,1) $ a pour image $ A'(4\,;\,3) $.
- $ B(5\,;\,1) $ a pour image $ B'(8\,;\,3) $.
- $ C(5\,;\,4) $ a pour image $ C'(8\,;\,6) $.
- $ D(1\,;\,3) $ a pour image $ D'(4\,;\,5) $.
On relie ensuite $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ dans cet ordre pour obtenir le trapèze image.
Une translation conserve les aires. Le trapèze $ A'B'C'D' $ a donc la même aire que $ ABCD $.

L'aire de $ A'B'C'D' $ vaut 10 cm².
Une translation conserve la nature des figures, les longueurs, les angles et le parallélisme.

Comme $ ABCD $ est un trapèze rectangle de côtés parallèles $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm et de hauteur $ 4 $ cm :

A'B'C'D' est aussi un trapèze rectangle, avec $ A'D' = 2 $ cm, $ B'C' = 3 $ cm et $ A'B' = 4 $ cm.

Image d’un cercle par une translation

On considère un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ O $ et de rayon $ 5 $ cm.

On note $ \mathcal{C}' $ l'image de $ \mathcal{C} $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{OO'} $ où $ OO' = 7 $ cm.

Quelle est la nature de la figure $ \mathcal{C}' $ ? Justifier.
Donner le rayon de $ \mathcal{C}' $ ainsi que son centre.
Calculer le périmètre de $ \mathcal{C}' $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ cm près.
Calculer l'aire du disque délimité par $ \mathcal{C}' $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 0{,}01 $ cm² près.
Que représente la distance $ OO' $ pour les deux cercles ? Justifier.

Corrigé

Une translation conserve la nature des figures : l'image d'un cercle est un cercle. Donc $ \mathcal{C}' $ est un cercle.
Une translation conserve les longueurs, donc le rayon de $ \mathcal{C}' $ est égal à celui de $ \mathcal{C} $ : $ \mathcal{C}' $ a pour rayon $ 5 $ cm.
Le centre de $ \mathcal{C}' $ est l'image du centre $ O $ par la translation, c'est-à-dire le point $\mathbf{O'}$.
Le périmètre d'un cercle de rayon $ r $ vaut $ 2\pi r $. Avec $ r = 5 $ cm :
$ \mathcal{P} = 2\pi \times 5 = 10\pi $ cm
Valeur exacte : $ 10\pi $ cm.
Valeur approchée : $ 10\pi \approx 31{,}42 $ cm, donc $ \mathcal{P} \approx 31{,}42 $ cm.
L'aire du disque de rayon $ r $ vaut $ \pi r^2 $. Avec $ r = 5 $ cm :
$ \mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi $ cm²
Valeur exacte : $ 25\pi $ cm².
Valeur approchée : $ 25\pi \approx 78{,}54 $ cm², donc $ \mathcal{A} \approx 78{,}54 $ cm².
Le point $ O' $ est l'image de $ O $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{OO'} $. La distance $ OO' = 7 $ cm représente donc la distance entre les deux centres des cercles $ \mathcal{C} $ et $ \mathcal{C}' $.

C'est aussi la longueur du déplacement effectué par chaque point du cercle $ \mathcal{C} $ pour obtenir son image sur $ \mathcal{C}' $.