Le blason symétrique : synthèse des propriétés

Léa dessine le blason de son club en partant d'un quadrilatère $ ABCD $ vérifiant :

$ AB = 5 $ cm, $ BC = 3 $ cm, $ CD = 4 $ cm, $ DA = 6 $ cm ;
aire du quadrilatère $ ABCD $ : $ 14 $ cm² ;
$ \widehat{ADC} = 75° $.

Pour terminer son blason, elle choisit un point $ O $ extérieur au quadrilatère et construit le quadrilatère $ A'B'C'D' $, symétrique de $ ABCD $ par rapport à $ O $.

Quadrilatère ABCD et un point O extérieur, à partir desquels on doit construire le quadrilatère symétrique

Le blason final est constitué des deux quadrilatères $ ABCD $ et $ A'B'C'D' $.

Donner les longueurs des côtés du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
Donner la mesure de l'angle $ \widehat{A'D'C'} $. Justifier la réponse.
Calculer le périmètre du quadrilatère $ ABCD $, puis le périmètre total du blason (les deux quadrilatères réunis).
Calculer l'aire totale du blason.
Inès affirme : « Le côté $ [A'B'] $ est porté par une droite parallèle à la droite $ (AB) $. » A-t-elle raison ? Justifier.
Léa relie le point $ D $ au point $ D' $. Justifier que le point $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.

Corrigé

La symétrie centrale conserve les longueurs. Les côtés du quadrilatère image ont donc les mêmes longueurs que ceux de $ ABCD $ :
$ A'B' = AB = $ $ 5 $ cm, $ B'C' = BC = $ $ 3 $ cm, $ C'D' = CD = $ $ 4 $ cm, $ D'A' = DA = $ $ 6 $ cm.
La symétrie centrale conserve les mesures des angles, donc $ \widehat{A'D'C'} = \widehat{ADC} = $ $\mathbf{75°}$.
Le périmètre de $ ABCD $ est :
$ \mathcal{P}_{ABCD} = 5 + 3 + 4 + 6 = 18 $ cm.

La symétrie centrale conserve les longueurs, donc le quadrilatère $ A'B'C'D' $ a le même périmètre. Le périmètre total du blason est donc :
$ \mathcal{P}_{\text{blason}} = 2 \times 18 $ = $ 36 $ cm.
La symétrie centrale conserve les aires. L'aire de $ A'B'C'D' $ est donc également de $ 14 $ cm². Comme les deux quadrilatères sont disjoints (car $ O $ est extérieur à $ ABCD $), l'aire totale du blason est :
$ \mathcal{A}_{\text{blason}} = 2 \times 14 $ = $ 28 $ cm².
La droite $ (A'B') $ est, par construction, le symétrique de la droite $ (AB) $ par rapport à $ O $. Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Donc $ (AB)\,/\!/\,(A'B') $ : Inès a raison.
Par construction, $ D' $ est le symétrique de $ D $ par rapport à $ O $. Par définition de la symétrie centrale, cela signifie exactement que $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.

Le centre de symétrie d’un parallélogramme

$ ABCD $ est un parallélogramme dont les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en $ O $.

On rappelle une propriété vue en cours : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Parallélogramme ABCD avec ses diagonales se coupant en O

Justifier que les points $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Justifier que les points $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
En déduire que le point $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
On donne $ AB = 7 $ cm et $ BC = 4 $ cm. En utilisant les questions précédentes, donner sans calcul les longueurs $ CD $ et $ AD $.

Corrigé

Le point $ O $ est l'intersection des diagonales du parallélogramme $ ABCD $. D'après la propriété rappelée, $ O $ est le milieu du segment $ [AC] $. Par définition de la symétrie centrale, $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
De la même manière, $ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $. Donc $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Par la symétrie de centre $ O $ : le symétrique de $ A $ est $ C $, le symétrique de $ B $ est $ D $, le symétrique de $ C $ est $ A $ et le symétrique de $ D $ est $ B $. Le symétrique du parallélogramme $ ABCD $ est donc le quadrilatère $ CDAB $, qui est exactement le même parallélogramme.

Le parallélogramme se superpose à lui-même par la symétrie de centre $ O $ : $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
Par la symétrie de centre $ O $, le segment $ [AB] $ a pour image le segment $ [CD] $ (puisque $ A \mapsto C $ et $ B \mapsto D $). La symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
$ CD = AB = $ $ 7 $ cm.

De même, le segment $ [BC] $ a pour image le segment $ [DA] $, donc :
$ AD = BC = $ $ 4 $ cm.

Symétrique d’un cercle et droites parallèles

Sur la figure, on a tracé un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ I $ et de rayon $ 3 $ cm, ainsi qu'un point $ O $ extérieur au cercle. Une droite $ (d) $ coupe le cercle en deux points $ A $ et $ B $.

On note $ \mathcal{C}' $ le symétrique du cercle $ \mathcal{C} $ par rapport à $ O $, et $ (d') $ le symétrique de la droite $ (d) $ par rapport à $ O $.

Cercle de centre I traversé par une droite d, et un point O extérieur au cercle

Construire le point $ I' $, symétrique de $ I $ par rapport à $ O $.
Quel est le rayon du cercle $ \mathcal{C}' $ ? Justifier.
Justifier que les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont parallèles.
On mesure $ IO = 5 $ cm. Calculer la distance $ II' $.

Corrigé

Le point $ I' $ est tel que $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On le construit en traçant la demi-droite $ [IO) $ et en reportant la longueur $ IO $ de l'autre côté de $ O $.
La symétrie centrale conserve les longueurs. Le cercle $ \mathcal{C}' $ a donc le même rayon que $ \mathcal{C} $, soit $ 3 $ cm. Son centre est le point $ I' $.
Les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont symétriques par rapport au point $ O $.

Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Donc $\mathbf{(d)\,/\!/\,(d')}$.
Comme $ I' $ est le symétrique de $ I $ par rapport à $ O $, le point $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On a donc $ OI = OI' = 5 $ cm, d'où :
$ II' = OI + OI' = 5 + 5 $ = $ 10 $ cm.

Conservation des longueurs, angles et aires

Le triangle $ A'B'C' $ est le symétrique du triangle $ ABC $ par rapport à un point $ O $.

On donne : $ AB = 6{,}5 $ cm, $ BC = 4{,}8 $ cm, $ AC = 5{,}2 $ cm et $ \widehat{BAC} = 47° $.

L'aire du triangle $ ABC $ vaut $ 12{,}48 $ cm².

Triangle ABC et son symétrique A'B'C' par rapport au point O

Donner, sans calcul, les longueurs $ A'B' $, $ B'C' $ et $ A'C' $. Justifier la réponse.
Donner la mesure de l'angle $ \widehat{B'A'C'} $. Justifier la réponse.
Calculer le périmètre du triangle $ ABC $.
En déduire le périmètre du triangle $ A'B'C' $.
Donner l'aire du triangle $ A'B'C' $.

Corrigé

La symétrie centrale conserve les longueurs. On a donc :
$ A'B' = AB = $ $ 6{,}5 $ cm,
$ B'C' = BC = $ $ 4{,}8 $ cm,
$ A'C' = AC = $ $ 5{,}2 $ cm.
La symétrie centrale conserve les mesures des angles. On a donc $ \widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = $ $\mathbf{47°}$.
Le périmètre du triangle $ ABC $ est la somme des longueurs de ses côtés :
$ \mathcal{P}_{ABC} = AB + BC + AC = 6{,}5 + 4{,}8 + 5{,}2 $ = $ 16{,}5 $ cm.
La symétrie centrale conserve les longueurs, donc elle conserve aussi le périmètre. On a donc $ \mathcal{P}_{A'B'C'} = \mathcal{P}_{ABC} = $ $ 16{,}5 $ cm.
La symétrie centrale conserve les aires. L'aire du triangle $ A'B'C' $ vaut donc $ 12{,}48 $ cm².

Vrai/Faux : Propriétés de conservation de la symétrie centrale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les propriétés de conservation de la symétrie centrale, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le symétrique d'un angle mesurant $130°$ par une symétrie centrale est un angle mesurant $130°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles. La mesure de l'angle image est donc identique à celle de l'angle initial.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la symétrie centrale conserve les mesures d'angles.
Pas de calcul de complémentaire ($90 - 130$) ni de supplémentaire ($180 - 130$) à faire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La symétrie centrale conserve les mesures d'angles : l'angle image mesure aussi $130°$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le triangle $ABC$ a pour aire $12$ cm². Son symétrique par rapport à $O$ est le triangle $A'B'C'$. La réunion des deux triangles (qui ne se chevauchent pas) a pour aire totale $12$ cm².

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Chaque triangle a pour aire $12$ cm². Comme ils ne se chevauchent pas, l'aire totale de la réunion vaut $12 + 12 = 24$ cm², et non $12$ cm².[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre l'aire d'un seul triangle (conservée par la symétrie) avec l'aire totale formée par les deux triangles ensemble.
La symétrie produit un second triangle de même aire ; les deux additionnés font $24$ cm².[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Chaque triangle a une aire de $12$ cm² ; leur réunion sans chevauchement a une aire de $12 + 12 = 24$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est une propriété spécifique de la symétrie centrale : la droite image a toujours la même direction que la droite initiale, donc elles sont parallèles. C'est une particularité que ne possède pas la symétrie axiale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la symétrie centrale conserve la direction des droites.
Une droite et sa symétrique par rapport à un point sont toujours parallèles (et même confondues si la droite passe par le centre).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La symétrie centrale conserve la direction d'une droite : deux droites symétriques par rapport à un point sont toujours parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une symétrie centrale transforme une droite verticale en droite horizontale.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La symétrie centrale conserve la direction d'une droite. Une droite verticale a donc pour image une droite verticale (parallèle à elle-même), pas une droite horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la symétrie centrale n'effectue pas une rotation d'un quart de tour mais d'un demi-tour.
Une droite verticale reste verticale après un demi-tour ; horizontal $\to$ vertical correspondrait à un quart de tour.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une symétrie centrale conserve la direction des droites : une verticale reste verticale, une horizontale reste horizontale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le périmètre du quadrilatère $ABCD$ vaut $20$ cm, alors le périmètre de son symétrique $A'B'C'D'$ par rapport à un point $O$ vaut $40$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La symétrie centrale conserve les longueurs côté par côté, donc aussi le périmètre. $A'B'C'D'$ a le même périmètre que $ABCD$, soit $20$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que le périmètre double à cause de la symétrie.
La symétrie ne change pas les longueurs : le périmètre est conservé à l'identique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La symétrie centrale conserve le périmètre : le quadrilatère image a le même périmètre que $ABCD$, soit $20$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $I$ est le milieu d'un segment $[AB]$ et que $A'$, $B'$, $I'$ sont les symétriques respectifs de $A$, $B$, $I$ par une symétrie de centre $O$, alors $I'$ est le milieu de $[A'B']$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La symétrie centrale conserve la propriété d'être le milieu : si $I$ est milieu de $[AB]$, alors son image $I'$ est milieu de $[A'B']$. Cela découle directement de la conservation des longueurs ($A'I' = AI$ et $I'B' = IB$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la symétrie centrale conserve les longueurs, donc aussi les milieux.
Si $AI = IB$, alors $A'I' = I'B'$ : $I'$ est bien milieu de $[A'B']$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc les milieux : l'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Symétrie centrale

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : construction, propriétés de conservation, axes et centres de symétrie de figures. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Combien d'axes de symétrie et combien de centres de symétrie possède un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange, ni carré) ?
[qcm]
[option]$2$ axes et $1$ centre.[/option]
[option correct="true"]$0$ axe et $1$ centre.[/option]
[option]$1$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$0$ axe et $0$ centre.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie (les axes apparaissent seulement pour les cas particuliers : rectangle, losange, carré). En revanche, il possède toujours un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.[/reponse]
[reponse motif="$2$ axes et $1$ centre."]Non.
$2$ axes correspondent au rectangle (médiatrices des côtés) ou au losange (diagonales), mais pas au parallélogramme général.[/reponse]
[reponse motif="$1$ axe et $0$ centre."]Non.
Un parallélogramme quelconque ne possède pas d'axe de symétrie. En revanche, il possède bien un centre.[/reponse]
[reponse motif="$0$ axe et $0$ centre."]Non.
Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est toujours un centre de symétrie : un demi-tour autour de ce point ramène la figure sur elle-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un parallélogramme général n'a pas la richesse de symétries du rectangle ou du losange, mais il possède toujours un point d'intersection des diagonales avec une propriété particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $ABC$ un triangle scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes). Combien d'axes et de centres de symétrie possède-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$1$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$0$ axe et $1$ centre.[/option]
[option]$3$ axes et $1$ centre.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un triangle scalène n'a aucune régularité : les trois côtés et les trois angles sont distincts. Aucun pliage ne peut le faire se superposer à lui-même, et aucun point ne joue le rôle de centre de symétrie. Il n'a donc ni axe, ni centre.[/reponse]
[reponse motif="$1$ axe et $0$ centre."]Non.
$1$ axe correspond au triangle isocèle (la médiatrice de la base). Le triangle scalène, lui, n'a aucun axe.[/reponse]
[reponse motif="$0$ axe et $1$ centre."]Non.
Aucun triangle ne possède de centre de symétrie. En effet, un demi-tour autour d'un point ferait tourner les sommets et le triangle ne pourrait pas se superposer.[/reponse]
[reponse motif="$3$ axes et $1$ centre."]Non.
$3$ axes et $1$ centre caractérisent le triangle équilatéral, pas le scalène. Et même le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie (il a des axes mais pas de centre).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un triangle « scalène » signifie que ses trois côtés sont différents : aucune symétrie ne peut le préserver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un rectangle de centre $I$ (intersection des diagonales). Quelle est l'image du sommet $A$ par la symétrie de centre $I$ ?
[qcm]
[option]$B$[/option]
[option]$D$[/option]
[option]$I$[/option]
[option correct="true"]$C$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Dans un rectangle, $I$ est le milieu commun des deux diagonales. En particulier, $I$ est le milieu de $[AC]$ : l'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est donc $C$.[/reponse]
[reponse motif="$B$"]Non.
$B$ est un sommet voisin de $A$, pas le sommet opposé. La symétrie centrale envoie $A$ sur le sommet diagonalement opposé.[/reponse]
[reponse motif="$D$"]Non.
$D$ est aussi un sommet voisin de $A$ (relié par un côté). L'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est le sommet « en face », pas un sommet voisin.[/reponse]
[reponse motif="$I$"]Non.
Seul le centre $I$ a pour image lui-même. Le sommet $A$ est différent de $I$, donc son image est aussi différente de $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un rectangle, le centre est le milieu de chaque diagonale. À quel sommet correspond $A$ par cette propriété ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La figure $F'$ est le symétrique de la figure $F$ par rapport à un point $O$. $F$ a pour aire $36$ cm² et pour périmètre $24$ cm. Quelle affirmation est correcte ?
[qcm]
[option correct="true"]$F'$ a pour aire $36$ cm² et pour périmètre $24$ cm.[/option]
[option]$F'$ a pour aire $72$ cm² et pour périmètre $48$ cm.[/option]
[option]$F'$ a pour aire $18$ cm² et pour périmètre $12$ cm.[/option]
[option]On ne peut rien dire sans connaître précisément $F$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La symétrie centrale conserve à la fois les aires et les périmètres. Donc $F'$ a la même aire ($36$ cm²) et le même périmètre ($24$ cm) que $F$.[/reponse]
[reponse motif="$F'$ a pour aire $72$ cm² et pour périmètre $48$ cm."]Non.
La symétrie centrale ne double ni l'aire, ni le périmètre. Confusion possible avec l'aire de $F$ et $F'$ réunies, mais la question porte sur $F'$ seul.[/reponse]
[reponse motif="$F'$ a pour aire $18$ cm² et pour périmètre $12$ cm."]Non.
La symétrie ne divise rien par $2$. Les grandeurs sont conservées exactement.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans connaître précisément $F$."]Non.
Les propriétés de conservation de la symétrie centrale s'appliquent à toutes les figures, sans exception. Pas besoin de connaître la forme de $F$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les grandeurs conservées par la symétrie centrale : longueurs, angles, périmètres et aires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur un parallélogramme $ABCD$, le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $I$ (intersection des diagonales) est :
[qcm]
[option]le segment $[AB]$ lui-même.[/option]
[option correct="true"]le segment $[CD]$.[/option]
[option]le segment $[BC]$.[/option]
[option]le segment $[AC]$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le centre $I$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Donc l'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est $C$, et l'image de $B$ est $D$. Par conséquent, l'image de $[AB]$ est $[CD]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AB]$ lui-même."]Non.
Un segment n'est globalement invariant par une symétrie centrale que si son milieu est précisément le centre. Ici, le centre $I$ n'est pas le milieu de $[AB]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[BC]$."]Non.
$[BC]$ est un autre côté du parallélogramme, mais ce n'est pas le côté « opposé » à $[AB]$. La symétrie centrale envoie un côté sur son côté parallèle opposé.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AC]$."]Non.
$[AC]$ est une diagonale, pas un côté du parallélogramme. La symétrie centrale envoie un côté sur un côté, pas sur une diagonale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier d'abord les images des sommets $A$ et $B$ par la symétrie de centre $I$ (en utilisant les propriétés du parallélogramme), puis relier les deux points images.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles propriétés de symétrie possède la lettre majuscule Z (en typographie standard, sans empattement) ?
[qcm]
[option]Un axe de symétrie horizontal et aucun centre de symétrie.[/option]
[option]Un axe de symétrie vertical et un centre de symétrie.[/option]
[option correct="true"]Aucun axe de symétrie et un centre de symétrie.[/option]
[option]Deux axes de symétrie et un centre de symétrie.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Un demi-tour autour du point central de la lettre $Z$ la transforme en elle-même. En revanche, aucun pliage (vertical ou horizontal) ne la laisse inchangée. Elle a donc un centre de symétrie mais aucun axe.[/reponse]
[reponse motif="Un axe de symétrie horizontal et aucun centre de symétrie."]Non.
Un pliage le long d'une horizontale ne ramène pas la lettre $Z$ sur elle-même : elle se transformerait en lettre miroir, mais inversée.[/reponse]
[reponse motif="Un axe de symétrie vertical et un centre de symétrie."]Non.
Un pliage vertical produit aussi une image miroir qui ne coïncide pas avec la lettre $Z$. Le centre de symétrie, lui, est bien présent.[/reponse]
[reponse motif="Deux axes de symétrie et un centre de symétrie."]Non.
Aucun axe de symétrie n'existe pour la lettre $Z$. Un demi-tour la conserve, mais aucun pliage ne le fait.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester mentalement chaque transformation : un pliage vertical, un pliage horizontal, un demi-tour. Dans quel cas la lettre $Z$ se superpose-t-elle exactement à elle-même ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Propriétés de conservation de la symétrie centrale

[enonce]
Ce QCM porte sur les propriétés de conservation de la symétrie centrale (longueurs, angles, périmètres, aires, parallélisme). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le segment $[A'B']$ est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à un point $O$. On sait que $AB = 7{,}3$ cm. Combien mesure $A'B'$ ?
[qcm]
[option]$3{,}65$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}3$ cm[/option]
[option]$14{,}6$ cm[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans connaître $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La symétrie centrale conserve les longueurs : $A'B' = AB = 7{,}3$ cm, quel que soit le centre $O$.[/reponse]
[reponse motif="$3{,}65$ cm"]Non.
La longueur n'a pas été divisée par $2$. La symétrie centrale conserve les longueurs : pas de réduction.[/reponse]
[reponse motif="$14{,}6$ cm"]Non.
La longueur n'est pas doublée. Attention à ne pas confondre $A'B'$ (longueur du segment image) avec $AA'$ ou $BB'$ (qui valent respectivement $2 \times OA$ et $2 \times OB$, mais qui n'ont rien à voir avec $AB$).[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans connaître $O$."]Non.
La position du centre influence la position du segment image, mais pas sa longueur. La conservation des longueurs vaut quel que soit $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la propriété fondamentale de la symétrie centrale : que conserve-t-elle sur les longueurs ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $A'B'C'$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à un point $O$. Le périmètre de $ABC$ vaut $18$ cm. Que vaut le périmètre de $A'B'C'$ ?
[qcm]
[option]$9$ cm.[/option]
[option correct="true"]$18$ cm.[/option]
[option]$36$ cm.[/option]
[option]Impossible à calculer sans connaître les longueurs des côtés.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La symétrie centrale conserve les longueurs ; chaque côté du triangle image a la même longueur que son antécédent. Le périmètre est donc identique : $18$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm."]Non.
Aucune division par $2$ ne se produit. Le périmètre image est exactement égal au périmètre de départ.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm."]Non.
Le périmètre image n'est pas le double du périmètre initial. Confusion possible avec le fait que $AA' = 2 \times OA$, mais le périmètre n'a aucun lien avec $OA$.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à calculer sans connaître les longueurs des côtés."]Non.
Pas besoin de connaître les côtés un à un : la conservation du périmètre vient directement de la conservation des longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La symétrie centrale conserve les longueurs côté par côté, donc aussi la somme des longueurs (le périmètre).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites $(d)$ et $(d')$ sont symétriques par rapport à un point $O$ (avec $(d)$ ne passant pas par $O$). Que peut-on affirmer sur leur position relative ?
[qcm]
[option]Elles sont perpendiculaires.[/option]
[option]Elles sont confondues.[/option]
[option correct="true"]Elles sont parallèles.[/option]
[option]Elles se coupent au point $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle (cours, propriété spécifique à la symétrie centrale). Comme $(d)$ ne passe pas par $O$, $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et distinctes.[/reponse]
[reponse motif="Elles sont perpendiculaires."]Non.
Aucune raison qu'un demi-tour produise une perpendicularité. Au contraire, un demi-tour conserve la direction d'une droite.[/reponse]
[reponse motif="Elles sont confondues."]Non.
Si $(d)$ ne passe pas par $O$, sa symétrique $(d')$ se trouve « de l'autre côté » de $O$ et n'est pas confondue avec $(d)$.[/reponse]
[reponse motif="Elles se coupent au point $O$."]Non.
Si $(d)$ ne passe pas par $O$, alors $(d')$ non plus : aucune des deux droites ne passe par $O$, donc elles ne peuvent pas s'y couper.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une propriété spécifique de la symétrie centrale concerne les droites images : elles ont la même direction que les droites de départ.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère un angle de mesure $73°$. Quelle est la mesure de son angle symétrique par une symétrie centrale ?
[qcm]
[option]$17°$[/option]
[option correct="true"]$73°$[/option]
[option]$107°$[/option]
[option]$146°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles. L'angle image a donc la même mesure : $73°$.[/reponse]
[reponse motif="$17°$"]Non.
Confusion avec l'angle complémentaire : $90 - 73 = 17$. La symétrie ne calcule pas un complément, elle reproduit l'angle à l'identique.[/reponse]
[reponse motif="$107°$"]Non.
Confusion avec l'angle supplémentaire : $180 - 73 = 107$. La symétrie centrale conserve les angles, elle ne les complète pas à $180°$.[/reponse]
[reponse motif="$146°$"]Non.
Doubler la mesure ($2 \times 73 = 146$) ne correspond à aucune propriété de la symétrie centrale, qui conserve les angles à l'identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La symétrie centrale conserve les longueurs et aussi les mesures d'angles. La mesure image est égale à la mesure d'origine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, on a $\widehat{ABC} = 65°$. Le triangle $A'B'C'$ est le symétrique de $ABC$ par rapport à un point $O$. Que vaut $\widehat{A'B'C'}$ ?
[qcm]
[option]$25°$[/option]
[option]$115°$[/option]
[option correct="true"]$65°$[/option]
[option]$130°$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles, et l'angle $\widehat{ABC}$ devient $\widehat{A'B'C'}$ : ils ont donc la même mesure $65°$.[/reponse]
[reponse motif="$25°$"]Non.
Confusion avec le complémentaire ($90 - 65 = 25$). La symétrie ne calcule pas un complément.[/reponse]
[reponse motif="$115°$"]Non.
Confusion avec le supplémentaire ($180 - 65 = 115$). La symétrie conserve la mesure exacte.[/reponse]
[reponse motif="$130°$"]Non.
Doubler la mesure ($2 \times 65 = 130$) ne correspond à rien dans la symétrie centrale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La symétrie centrale conserve les angles. Quel angle correspond à $\widehat{ABC}$ dans le triangle image ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est le symétrique du quadrilatère $ABCD$ par rapport à un point $O$. $ABCD$ a une aire de $24$ cm². Quelle est l'aire de $A'B'C'D'$ ?
[qcm]
[option]$12$ cm²[/option]
[option]$48$ cm²[/option]
[option correct="true"]$24$ cm²[/option]
[option]Impossible à calculer sans connaître les longueurs des côtés.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
La symétrie centrale conserve les aires : l'aire image est strictement égale à l'aire d'origine, soit $24$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$12$ cm²"]Non.
Aucune division par $2$ : la symétrie centrale ne réduit pas l'aire. Elle la conserve à l'identique.[/reponse]
[reponse motif="$48$ cm²"]Non.
L'aire ne double pas. Confusion possible avec l'aire totale formée par la figure et son image (qui sont en général disjointes), mais la question porte sur l'aire de $A'B'C'D'$ seul.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à calculer sans connaître les longueurs des côtés."]Non.
Pas besoin de calculer côté par côté : la symétrie centrale conserve les aires, ce qui suffit pour conclure directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, mais aussi les périmètres et les aires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]