Salaires d’une PME : effet d’une revalorisation sur les indicateurs

[enonce]
Le responsable des ressources humaines d'une PME a calculé les indicateurs statistiques des salaires mensuels (en euros) de ses employés :

Moyenne $\bar{x} = 2\,400$ €
Médiane $\text{Med} = 2\,200$ €
Étendue $= 1\,600$ €
Écart interquartile $= 700$ €

Il envisage une revalorisation : chaque salaire $x$ est remplacé par $y = 1{,}04\,x + 50$ (augmentation de $4\,\%$ puis prime fixe de $50$ €).

L'objectif est de déterminer les nouveaux indicateurs statistiques sans connaître les salaires individuels.
[/enonce]

[etape]
Connaissant uniquement la moyenne $\bar{x}$, comment obtenir la nouvelle moyenne $\bar{y}$ sans recalculer à partir de chaque salaire ?
[qcm]
[option]Il n'est pas possible d'obtenir $\bar{y}$ sans connaître tous les salaires individuels.[/option]
[option correct="true"]Appliquer la formule $\bar{y} = 1{,}04\,\bar{x} + 50$.[/option]
[option]$\bar{y} = \bar{x} + 50$ uniquement : la constante suffit.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la linéarité de la moyenne : si $y = a\,x + b$, alors $\bar{y} = a\,\bar{x} + b$. La transformation se transmet directement à la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="Il n'est pas possible d'obtenir $\bar{y}$ sans connaître tous les salaires individuels."]Non.
Une propriété du cours permet de s'en passer : la moyenne d'une série transformée par $y = a\,x + b$ s'obtient directement à partir de $\bar{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\bar{y} = \bar{x} + 50$ uniquement : la constante suffit."]Non.
L'augmentation de $4\,\%$ (le coefficient $1{,}04$) multiplie chaque salaire : son effet doit aussi se retrouver sur la moyenne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la propriété de linéarité de la moyenne pour une transformation affine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la nouvelle moyenne $\bar{y}$ (en euros).
[[moy]]
[math id="moy" attendu="2546"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{y} = 1{,}04 \times 2\,400 + 50 = 2\,496 + 50 = 2\,546$ €.[/reponse]
[reponse motif="2496"]Non.
Tu as calculé $1{,}04 \times 2\,400$, mais oublié la prime fixe. Les deux composantes de la transformation s'appliquent.[/reponse]
[reponse motif="2450"]Non.
Tu as ajouté $50$ mais oublié le coefficient $1{,}04$. Relire la transformation $y = 1{,}04\,x + 50$.[/reponse]
[reponse motif="2404"]Non.
Tu as ajouté $4$ et $50$. Le $4\,\%$ d'augmentation ne se traduit pas par $+4$ mais par un facteur multiplicatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la propriété de linéarité identifiée à l'étape précédente avec $\bar{x} = 2\,400$.[/reponse]
[aide essai="2"]Remplacer $\bar{x}$ par $2\,400$ dans la formule $\bar{y} = 1{,}04\,\bar{x} + 50$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $1{,}04 \times 2\,400$, puis ajouter $50$.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{y} = 1{,}04 \times 2\,400 + 50 = 2\,496 + 50 = 2\,546$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
La médiane suit-elle la même règle : $\text{Med}' = 1{,}04 \times \text{Med} + 50$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui : une transformation affine croissante ($a > 0$) conserve l'ordre des salaires, donc le salarié médian reste le même. Son nouveau salaire est $1{,}04 \times \text{Med} + 50$.[/option]
[option]Non : seule la moyenne admet cette propriété. La médiane doit être recalculée à partir de tous les salaires.[/option]
[option]Non : la médiane est invariante, elle reste $2\,200$ €.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand $a > 0$, l'ordre des valeurs est conservé : la valeur située au rang central ne change pas de position, et son nouveau montant est obtenu en appliquant la transformation.[/reponse]
[reponse motif="Non : seule la moyenne admet cette propriété. La médiane doit être recalculée à partir de tous les salaires."]Non.
La médiane dépend de la position dans la série ordonnée. Comme la transformation ne change pas cet ordre, le salarié médian est le même avant et après.[/reponse]
[reponse motif="Non : la médiane est invariante, elle reste $2\,200$ €."]Non.
Si tous les salaires augmentent, la médiane augmente aussi. C'est sa position qui est conservée, pas sa valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à l'effet d'une transformation affine croissante sur l'ordre de la série.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la nouvelle médiane $\text{Med}'$ (en euros).
[[med]]
[math id="med" attendu="2338"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\text{Med}' = 1{,}04 \times 2\,200 + 50 = 2\,288 + 50 = 2\,338$ €.[/reponse]
[reponse motif="2288"]Non.
Tu as calculé $1{,}04 \times 2\,200$, mais oublié d'ajouter la prime fixe.[/reponse]
[reponse motif="2250"]Non.
Tu as ajouté $50$ sans appliquer le coefficient $1{,}04$.[/reponse]
[reponse motif="2546"]Non.
$2\,546$ est la nouvelle moyenne, calculée à partir de $\bar{x} = 2\,400$. Ici, il faut partir de la médiane, soit $2\,200$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la transformation à partir de la médiane initiale.[/reponse]
[aide essai="2"]Utiliser la même formule que pour la moyenne, mais avec la médiane initiale ($2\,200$) à la place de $\bar{x}$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $1{,}04 \times 2\,200$, puis ajouter $50$.[/aide]
[/math]
[solution]$\text{Med}' = 1{,}04 \times 2\,200 + 50 = 2\,338$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer la nouvelle étendue de la série des salaires (en euros).
[[et]]
[math id="et" attendu="1664"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Si $y_{\max} = 1{,}04\,x_{\max} + 50$ et $y_{\min} = 1{,}04\,x_{\min} + 50$, alors
$y_{\max} - y_{\min} = 1{,}04(x_{\max} - x_{\min}) = 1{,}04 \times 1\,600 = 1\,664$ €.
La constante $+50$ s'ajoute aux deux extrêmes et se simplifie dans la différence.[/reponse]
[reponse motif="1714"]Non.
$1\,714 = 1{,}04 \times 1\,600 + 50$. Or, dans une différence entre le maximum et le minimum, la constante $+50$ apparaît des deux côtés et s'annule.[/reponse]
[reponse motif="1600"]Non.
L'étendue initiale est $1\,600$, mais le coefficient $1{,}04$ multiplie aussi les valeurs extrêmes : l'étendue change donc.[/reponse]
[reponse motif="1650"]Non.
Cela revient à ajouter simplement $50$ à l'étendue initiale. Or le facteur $1{,}04$ intervient aussi, et le $+50$ disparaît dans la différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Exprimer l'étendue comme la différence des valeurs extrêmes, puis appliquer la transformation à chacune.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $y_{\max} - y_{\min}$ en remplaçant chaque terme par $1{,}04\,x + 50$. Observer ce qui se simplifie.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification, la nouvelle étendue vaut $1{,}04$ fois l'étendue initiale.[/aide]
[/math]
[solution]$y_{\max} - y_{\min} = 1{,}04(x_{\max} - x_{\min}) = 1{,}04 \times 1\,600 = 1\,664$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le nouvel écart interquartile (en euros).
[[eiq]]
[math id="eiq" attendu="728"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$Q_3' - Q_1' = (1{,}04\,Q_3 + 50) - (1{,}04\,Q_1 + 50) = 1{,}04 \times (Q_3 - Q_1) = 1{,}04 \times 700 = 728$ €.
Le raisonnement est identique à celui de l'étendue : la prime fixe disparaît, seul le coefficient subsiste.[/reponse]
[reponse motif="778"]Non.
$778 = 1{,}04 \times 700 + 50$. La constante $+50$ est ajoutée à la fois à $Q_1$ et à $Q_3$ : elle disparaît dans la différence $Q_3 - Q_1$.[/reponse]
[reponse motif="700"]Non.
Le coefficient $1{,}04$ s'applique aussi aux quartiles, donc leur différence change.[/reponse]
[reponse motif="750"]Non.
Tu as ajouté $50$ à l'écart initial sans appliquer le facteur $1{,}04$, et sans tenir compte que le $+50$ disparaît dans une différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Même raisonnement que pour l'étendue : exprimer l'écart interquartile comme différence de deux quartiles transformés.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $Q_3' - Q_1'$ en appliquant $y = 1{,}04\,x + 50$ à chaque quartile, puis simplifier.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification, le nouvel écart interquartile vaut $1{,}04$ fois l'ancien.[/aide]
[/math]
[solution]$Q_3' - Q_1' = 1{,}04 (Q_3 - Q_1) = 1{,}04 \times 700 = 728$ €.[/solution]
[/etape]

QCM : Moyennes et linéarité

[enonce]
Ce QCM porte sur la moyenne pondérée et la linéarité de la moyenne. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série statistique suivante :

Valeur	$2$	$3$	$5$	$7$	$10$
Effectif	$4$	$6$	$3$	$5$	$2$

Quelle est la moyenne de cette série ?
[qcm]
[option]$5{,}4$[/option]
[option correct="true"]$4{,}8$[/option]
[option]$19{,}2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'effectif total est $N = 4 + 6 + 3 + 5 + 2 = 20$.
$\bar{x} = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times 6 + 5 \times 3 + 7 \times 5 + 10 \times 2}{20} = \dfrac{8 + 18 + 15 + 35 + 20}{20} = \dfrac{96}{20} = 4{,}8$[/reponse]
[reponse motif="$5{,}4$"]Non.
$5{,}4 = \dfrac{2 + 3 + 5 + 7 + 10}{5}$. Ce calcul ignore les effectifs : chaque valeur n'apparaît pas une seule fois. Il faut calculer la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$19{,}2$"]Non.
$19{,}2 = \dfrac{96}{5}$. Le numérateur est correct, mais le dénominateur est le nombre de valeurs distinctes. Il faut diviser par l'effectif total $N$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est la valeur qui a le plus grand effectif (le mode). Le mode et la moyenne sont deux indicateurs différents : ne pas les confondre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total $N = 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un professeur a calculé une moyenne de $11{,}5$ à un contrôle. Pour harmoniser les notes, il décide d'ajouter $1{,}5$ point à chaque copie.
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$17{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
D'après la linéarité de la moyenne, si on ajoute la même constante à toutes les valeurs, la moyenne augmente d'autant :
$\bar{x}' = 11{,}5 + 1{,}5 = 13$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 11{,}5 - 1{,}5$. Attention au signe : le professeur ajoute des points, la moyenne augmente, elle ne diminue pas.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ est la valeur ajoutée à chaque copie, pas la nouvelle moyenne. Il faut additionner cette valeur à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$17{,}25$"]Non.
$17{,}25 = 11{,}5 \times 1{,}5$. On n'a pas multiplié les notes : on a ajouté une constante. La linéarité donne alors $\bar{x} + b$, pas $\bar{x} \times b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ajouter une constante $b$ à toutes les valeurs augmente la moyenne de cette même constante $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La moyenne des notes d'une classe à un contrôle sur $20$ est $\bar{x} = 12$. Le professeur convertit toutes les notes sur $10$ (il divise chaque note par $2$).
Quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité de la moyenne, multiplier toutes les valeurs par $a = \dfrac{1}{2}$ multiplie la moyenne par $a$ :
$\bar{x}' = \dfrac{12}{2} = 6$[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 12 - 2$. On ne soustrait pas $2$ : on divise par $2$. La linéarité avec $a = \dfrac{1}{2}$ donne $\bar{x}' = \dfrac{1}{2} \bar{x}$, pas $\bar{x} - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 12 \times 2$. Attention au sens : passer de $/20$ à $/10$ consiste à diviser les notes par $2$, pas à les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
La moyenne change lorsqu'on modifie toutes les valeurs : ici chacune est divisée par $2$. La nouvelle moyenne ne peut pas rester identique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier toutes les valeurs par un facteur $a$ multiplie la moyenne par ce même facteur. Ici $a = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a mesuré la durée (en minutes) consacrée aux devoirs par $20$ élèves et on a regroupé les données en classes :

Durée (min)	$[0\,;\,10[$	$[10\,;\,20[$	$[20\,;\,30[$	$[30\,;\,40[$
Effectif	$5$	$8$	$4$	$3$

Quelle est la valeur approchée de la moyenne ?
[qcm]
[option]$12{,}5$[/option]
[option]$20$[/option]
[option correct="true"]$17{,}5$[/option]
[option]$22{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace chaque classe par son centre : $5$ ; $15$ ; $25$ ; $35$.
$\bar{x} \approx \dfrac{5 \times 5 + 15 \times 8 + 25 \times 4 + 35 \times 3}{20} = \dfrac{25 + 120 + 100 + 105}{20} = \dfrac{350}{20} = 17{,}5$ min[/reponse]
[reponse motif="$12{,}5$"]Non.
$12{,}5$ s'obtient en prenant les bornes inférieures des classes ($0$ ; $10$ ; $20$ ; $30$) au lieu des centres. Utiliser le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$20$"]Non.
$20 = \dfrac{5 + 15 + 25 + 35}{4}$ est la moyenne des centres sans tenir compte des effectifs. La moyenne est pondérée par les effectifs de chaque classe.[/reponse]
[reponse motif="$22{,}5$"]Non.
$22{,}5$ s'obtient en prenant les bornes supérieures des classes ($10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$). Pour approcher la moyenne, on utilise le centre de chaque classe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre (moyenne des deux bornes), puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12$ à un contrôle.
Quelle est la somme totale des notes de la classe ?
[qcm]
[option]$37$[/option]
[option]$25$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$300$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition de la moyenne, $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$, donc la somme vaut $\bar{x} \times N$ :
$12 \times 25 = 300$[/reponse]
[reponse motif="$37$"]Non.
$37 = 12 + 25$. La moyenne et l'effectif ne s'additionnent pas. Repartir de la définition $\bar{x} = \dfrac{\text{somme}}{N}$ pour exprimer la somme en fonction de $\bar{x}$ et $N$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
$25$ est l'effectif de la classe, pas la somme des notes. Combiner la moyenne et l'effectif à l'aide de la définition de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est la moyenne, c'est-à-dire la somme divisée par l'effectif. La somme totale est donc bien plus grande.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Partir de la définition : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme des notes}}{N}$. Isoler la somme permet d'exprimer le résultat en fonction de la moyenne et de l'effectif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un magasin, la moyenne des prix d'un rayon est de $50$ €. Après une hausse uniforme de $8\%$ sur tous les articles, quelle est la nouvelle moyenne ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$58$[/option]
[option correct="true"]$54$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Appliquer une hausse de $8\%$ revient à multiplier chaque prix par $1{,}08$. Par linéarité :
$\bar{x}' = 1{,}08 \times 50 = 54$ €[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = 8\%$ de $50$ : c'est la hausse moyenne, pas la nouvelle moyenne. Il faut ajouter cette hausse à la moyenne initiale.[/reponse]
[reponse motif="$58$"]Non.
$58 = 50 + 8$. Attention : $8$ est un pourcentage, pas un montant en euros. Il faut d'abord calculer $8\%$ de $50$, puis l'ajouter.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
Appliquer une hausse uniforme modifie tous les prix, donc la moyenne change également. Utiliser la linéarité avec le coefficient multiplicatif $1{,}08$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une hausse de $8\%$ correspond à une multiplication par $1{,}08$. La nouvelle moyenne s'obtient en multipliant la moyenne initiale par ce coefficient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Indicateurs et transformations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les effets des transformations sur les indicateurs statistiques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une série de notes a pour moyenne $\bar{x} = 11$.

Affirmation : Si le professeur ajoute $3$ points à chaque note, la nouvelle moyenne vaut $14$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par linéarité de la moyenne, transformer chaque note $x_i$ en $x_i + 3$ donne une nouvelle moyenne $\bar{x} + 3 = 11 + 3 = 14$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la moyenne de la série $(x_i + b)$ est $\bar{x} + b$. Ici $b = 3$, donc la nouvelle moyenne vaut $11 + 3 = 14$, sans avoir à refaire le calcul complet.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La linéarité donne directement la nouvelle moyenne : $\bar{x} + 3 = 14$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une série a pour moyenne $\bar{x} = 8$.

Affirmation : Si on multiplie toutes les valeurs par $2$, la nouvelle moyenne vaut $16$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité, la moyenne de la série $(2 x_i)$ est $2 \bar{x} = 2 \times 8 = 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La moyenne de la série $(a x_i + b)$ est $a \bar{x} + b$. Avec $a = 2$ et $b = 0$, on obtient $2 \times 8 = 16$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La linéarité donne $2 \bar{x} = 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une série de températures a pour étendue $e = 12\,°\text{C}$.

Affirmation : Si on ajoute $5\,°\text{C}$ à chaque température, la nouvelle étendue vaut $17\,°\text{C}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En ajoutant $5$ à chaque valeur, le minimum et le maximum augmentent tous deux de $5$. Leur différence (l'étendue) est inchangée : elle vaut toujours $12\,°\text{C}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas appliquer mécaniquement la règle de la moyenne à tous les indicateurs. L'étendue est une différence entre deux valeurs. Ajouter $5$ au max et au min ne change pas leur écart : l'étendue reste $12\,°\text{C}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'étendue reste $12\,°\text{C}$ car ajouter une constante à toutes les valeurs ne modifie pas la différence entre le max et le min.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une série de notes a pour médiane $\text{Me} = 12$.

Affirmation : Si le professeur retire $2$ points à chaque note, la nouvelle médiane vaut $10$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Retirer $2$ à toutes les valeurs conserve leur ordre : la valeur centrale (la médiane) est également diminuée de $2$, donc $\text{Me}' = 12 - 2 = 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de penser que seule la moyenne se translate. En fait, une translation $x_i \mapsto x_i - 2$ appliquée à toutes les valeurs conserve l'ordre, donc la valeur centrale est aussi décalée de $-2$.
La médiane passe donc de $12$ à $10$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une translation des valeurs se répercute identiquement sur la médiane : $\text{Me}' = 12 - 2 = 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série $6\,;\,7\,;\,9\,;\,10\,;\,14$.

Affirmation : Pour cette série, la moyenne et la médiane coïncident et valent toutes deux $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La médiane est bien $9$ (valeur de rang $3$ sur $5$), mais la moyenne vaut $\dfrac{6 + 7 + 9 + 10 + 14}{5} = \dfrac{46}{5} = 9{,}2$, et non $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut calculer chaque indicateur séparément. La médiane est la $3^e$ valeur, soit $9$. La moyenne vaut $\dfrac{46}{5} = 9{,}2$. Les deux indicateurs ne coïncident que pour des séries très particulières (souvent symétriques).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La médiane vaut $9$ mais la moyenne vaut $9{,}2$. En général, ces deux indicateurs sont distincts.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série $4\,;\,5\,;\,5\,;\,5\,;\,6$ de moyenne $\bar{x} = 5$.

Affirmation : L'écart type de cette série vaut $0$ puisque la moyenne est égale à la valeur centrale $5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Un écart type nul signifie que toutes les valeurs sont identiques à la moyenne. Ici, $4$ et $6$ diffèrent de $5$, donc l'écart type est strictement positif.
Variance : $V = \dfrac{1 \times 1^2 + 3 \times 0^2 + 1 \times 1^2}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$, soit $s \approx 0{,}63$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre moyenne et dispersion. L'écart type vaut $0$ uniquement quand toutes les valeurs sont identiques.
Ici les valeurs $4$ et $6$ s'écartent de la moyenne $5$, donc la dispersion n'est pas nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écart type vaut $0$ seulement si toutes les valeurs sont identiques. Ici $V = 0{,}4$ et $s \approx 0{,}63$.
[/solution]
[/etape]

Moyenne d’une classe et bonus de points

Dans une classe de Seconde, les élèves sont répartis en trois groupes de travaux pratiques. À l'issue d'un devoir commun, les résultats sont les suivants :

Groupe	A	B	C
Effectif	10	12	8
Moyenne sur 20	11	8,5	14

Calculer l'effectif total de la classe.
Montrer que la moyenne de la classe au devoir est $\bar{x} = 10{,}8$.
L'enseignant décide d'accorder $2$ points de bonus à chaque élève de la classe. Sans refaire tout le calcul, déterminer la nouvelle moyenne de la classe.
L'écart-type des notes avant bonus vaut environ $s \approx 2{,}3$. Que vaut l'écart-type des notes après l'ajout du bonus ? Justifier.
Un nouvel élève intègre le groupe B. La moyenne de ce groupe passe alors de $8{,}5$ à $8{,}6$ (avant bonus). Quelle note a obtenu ce nouvel élève à ce même devoir ?

Corrigé

L'effectif total de la classe est :
$N = 10 + 12 + 8$ = $30$ élèves.
La moyenne de la classe est la moyenne pondérée des moyennes de chaque groupe :
$\bar{x} = \dfrac{10 \times 11 + 12 \times 8{,}5 + 8 \times 14}{30}$
$\bar{x} = \dfrac{110 + 102 + 112}{30} = \dfrac{324}{30} = 10{,}8$
La moyenne de la classe est bien $\bar{x} = 10{,}8$.
Ajouter $2$ points à chaque note revient à passer de la série $(x_i)$ à la série $(x_i + 2)$. D'après la linéarité de la moyenne, la nouvelle moyenne est :
$\bar{x}' = \bar{x} + 2 = 10{,}8 + 2$ = $\mathbf{12{,}8}$.
Ajouter une même constante à toutes les valeurs d'une série ne modifie pas la dispersion des valeurs autour de la moyenne : chaque note et la moyenne augmentent de la même quantité, donc les écarts à la moyenne sont inchangés.
L'écart-type reste égal à $s \approx 2{,}3$.
Avant l'arrivée du nouvel élève, la somme des notes du groupe B est :
$S = 12 \times 8{,}5 = 102$

Après son arrivée, le groupe compte $13$ élèves et sa moyenne vaut $8{,}6$. La nouvelle somme des notes est donc :
$S' = 13 \times 8{,}6 = 111{,}8$

La note du nouvel élève est la différence :
$n = S' - S = 111{,}8 - 102$ = $\mathbf{9{,}8}$.

→ Pour réviser : Calculer la variance et l'écart type à la calculatrice