Racines n-ièmes de l’unité et polygone régulier

On appelle racine n-ième de l'unité tout nombre complexe $ z $ vérifiant $ z^{n} = 1 $. On admet qu'il en existe exactement $ n $, données par $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{n}} $ pour $ k $ entier variant de $ 0 $ à $ n - 1 $.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $ \left(O ; \vec{u} ; \vec{v}\right) $.

Cas $ n = 3 $ (racines cubiques de l'unité).
1. Déterminer les trois racines cubiques de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
2. Placer leurs images $ A_{0} $, $ A_{1} $, $ A_{2} $ dans le plan complexe et préciser la nature du triangle $ A_{0}A_{1}A_{2} $.
3. Calculer la somme et le produit de ces trois racines.
Cas $ n = 4 $ (racines quatrièmes de l'unité).
1. Déterminer les quatre racines quatrièmes de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
2. Placer leurs images dans le plan complexe et préciser la nature du quadrilatère qu'elles forment.
3. Calculer la somme et le produit de ces quatre racines.
Cas $ n = 6 $ (racines sixièmes de l'unité).
1. Déterminer les six racines sixièmes de l'unité sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
2. Justifier que leurs images sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité.
3. Calculer la somme et le produit de ces six racines.
Cas général. Justifier que, pour tout entier $ n \geqslant 2 $, la somme des $ n $ racines n-ièmes de l'unité est nulle.

Corrigé

1. Pour $ n = 3 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{3}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2\} $.
  
  $ z_{0} = e^{0} = 1 $
  
  $ z_{1} = e^{\frac{2i\pi}{3}} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  $ z_{2} = e^{\frac{4i\pi}{3}} = \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
2. Les trois images appartiennent au cercle unité (leur module vaut $ 1 $) et leurs arguments $ 0 $, $ \dfrac{2\pi}{3} $, $ \dfrac{4\pi}{3} $ sont régulièrement espacés de $ \dfrac{2\pi}{3} $.
  
  Les trois sommets se déduisent les uns des autres par une rotation de centre $ O $ et d'angle $ \dfrac{2\pi}{3} $ : le triangle $ A_{0}A_{1}A_{2} $ est donc équilatéral.
3. Somme :
  
  $ z_{0} + z_{1} + z_{2} = 1 + \left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + 0 = 0 $
  
  La somme des racines cubiques de l'unité vaut $\mathbf{0}$.
  
  Produit :
  
  $ z_{0}\,z_{1}\,z_{2} = e^{0} \times e^{\frac{2i\pi}{3}} \times e^{\frac{4i\pi}{3}} = e^{i\left(0 + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right)} = e^{2i\pi} = 1 $
  
  Le produit des racines cubiques de l'unité vaut $\mathbf{1}$.
1. Pour $ n = 4 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{4}} = e^{\frac{ik\pi}{2}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3\} $.
  
  $ z_{0} = e^{0} = 1 $
  
  $ z_{1} = e^{\frac{i\pi}{2}} = i $
  
  $ z_{2} = e^{i\pi} = -1 $
  
  $ z_{3} = e^{\frac{3i\pi}{2}} = -i $
2. Les quatre images ont pour module $ 1 $ : elles appartiennent au cercle unité. Leurs arguments $ 0 $, $ \dfrac{\pi}{2} $, $ \pi $, $ \dfrac{3\pi}{2} $ sont régulièrement espacés de $ \dfrac{\pi}{2} $, soit $ 90^{\circ} $.
  
  Les quatre sommets se déduisent les uns des autres par une rotation de centre $ O $ et d'angle $ \dfrac{\pi}{2} $ : ils forment un carré inscrit dans le cercle unité.
3. Somme :
  
  $ z_{0} + z_{1} + z_{2} + z_{3} = 1 + i + (-1) + (-i) = 0 $
  
  La somme des racines quatrièmes de l'unité vaut $\mathbf{0}$.
  
  Produit :
  
  $ z_{0}\,z_{1}\,z_{2}\,z_{3} = e^{i\left(0 + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3\pi}{2}\right)} = e^{3i\pi} = e^{i\pi} = -1 $
  
  Le produit des racines quatrièmes de l'unité vaut $\mathbf{-1}$.
1. Pour $ n = 6 $, les racines sont $ z_{k} = e^{\frac{2ik\pi}{6}} = e^{\frac{ik\pi}{3}} $ pour $ k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\} $.
  
  $ z_{0} = e^{0} = 1 $
  
  $ z_{1} = e^{\frac{i\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  $ z_{2} = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  $ z_{3} = e^{i\pi} = -1 $
  
  $ z_{4} = e^{\frac{4i\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  
  $ z_{5} = e^{\frac{5i\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
2. Chaque racine a pour module $ \left|e^{\frac{ik\pi}{3}}\right| = 1 $ : les six images sont sur le cercle unité. De plus, deux images consécutives sont séparées par un écart d'argument constant égal à $ \dfrac{\pi}{3} $, soit $ 60^{\circ} $.
  
  Les six points sont donc équidistants sur le cercle unité : ils forment un hexagone régulier inscrit dans ce cercle.
3. Somme : on regroupe les racines opposées deux à deux.
  
  $ z_{0} + z_{3} = 1 + (-1) = 0 $, $ z_{1} + z_{4} = 0 $ et $ z_{2} + z_{5} = 0 $.
  
  $ z_{0} + z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5} = 0 $
  
  La somme des racines sixièmes de l'unité vaut $\mathbf{0}$.
  
  Produit : on additionne les arguments.
  
  $ \displaystyle\prod_{k=0}^{5} z_{k} = e^{\frac{i\pi}{3}\left(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5\right)} = e^{\frac{15i\pi}{3}} = e^{5i\pi} = e^{i\pi} = -1 $
  
  Le produit des racines sixièmes de l'unité vaut $\mathbf{-1}$.
Notons $ \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}} $. Comme $ n \geqslant 2 $, on a $ \omega \neq 1 $, et chaque racine s'écrit $ z_{k} = \omega^{k} $.

La somme est donc géométrique de raison $ \omega $ :

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z_{k} = \sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k} = \dfrac{\omega^{n} - 1}{\omega - 1} $

Or $ \omega^{n} = \left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^{n} = e^{2i\pi} = 1 $, donc le numérateur $ \omega^{n} - 1 = 0 $.

Comme $ \omega - 1 \neq 0 $, on conclut :

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z_{k} = 0 $

La somme des $ n $ racines n-ièmes de l'unité est nulle pour tout entier $ n \geqslant 2 $. Géométriquement, le centre de gravité des sommets du polygone régulier inscrit dans le cercle unité est le point $ O $.

Vrai/Faux : Formule de Moivre

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la formule de Moivre et ses applications, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est précisément la formule de Moivre. Elle se déduit de la forme exponentielle : $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule de Moivre exprime que la puissance $n$-ième de $\cos\theta + i\sin\theta$ s'obtient en multipliant l'angle par $n$, sans toucher aux fonctions $\cos$ et $\sin$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de Moivre, version trigonométrique de la propriété $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos^{n}\theta + i\sin^{n}\theta$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Une puissance ne se distribue pas séparément sur $\cos\theta$ et $\sin\theta$.
Contre-exemple avec $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ et $n = 2$ : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = i$ (formule de Moivre : $\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = i$). Or $\cos^{2}\dfrac{\pi}{4} + i\sin^{2}\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}$, ce qui est différent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La formule correcte est $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ : c'est l'angle qui est multiplié par $n$, et non chaque fonction trigonométrique élevée à la puissance $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ ; c'est l'angle qui est multiplié par $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{12} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par Moivre : $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{12} = \cos\left(12 \times \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(12 \times \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Multiplier l'angle par $12$ donne $12 \times \dfrac{\pi}{6} = 2\pi$ : on fait un tour complet et on revient à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $12 \times \dfrac{\pi}{6} = 2\pi$, donc $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{12} = e^{i\,2\pi} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique Moivre avec $n = 2$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$.
En développant le carré : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta + (i\sin\theta)^{2} = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta$.
Identification des parties réelles : $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette formule de duplication se démontre directement en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2}$ et en utilisant Moivre : la partie réelle donne $\cos(2\theta)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de duplication de cosinus, qui se déduit de Moivre avec $n = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - \sin^{3}\theta$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule correcte est $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta$ (avec un coefficient $4$, pas $1$).
On l'obtient en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^{3}$ et en identifiant les parties imaginaires :
$(\cos\theta + i\sin\theta)^{3} = \cos^{3}\theta + 3i\cos^{2}\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta - i\sin^{3}\theta$.
La partie imaginaire est $3\cos^{2}\theta\sin\theta - \sin^{3}\theta = 3(1 - \sin^{2}\theta)\sin\theta - \sin^{3}\theta = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient devant $\sin^{3}\theta$ a été oublié. En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^{3}$ et en remplaçant $\cos^{2}\theta$ par $1 - \sin^{2}\theta$, on obtient un facteur $4$ devant $\sin^{3}\theta$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule exacte est $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta$ (le coefficient $4$ vient du remplacement de $\cos^{2}\theta$ par $1 - \sin^{2}\theta$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(1 + i)^{4} = -4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On passe à la forme exponentielle : $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. D'après Moivre :
$(1 + i)^{4} = (\sqrt{2})^{4}\,e^{i \cdot 4 \cdot \pi/4} = 4 \cdot e^{i\pi} = 4 \times (-1) = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Mettre $1 + i$ sous forme exponentielle ($\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$), puis appliquer Moivre : module $(\sqrt{2})^{4} = 4$, argument $4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi$. Le résultat est $4\,e^{i\pi} = -4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(1+i)^{4} = (\sqrt{2}\,e^{i\pi/4})^{4} = 4\,e^{i\pi} = -4$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Nombres complexes et géométrie

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : forme exponentielle, formule de Moivre, configurations géométriques et inverse d'un complexe. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La forme exponentielle de $z = 2 - 2i$ est :
[qcm]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$4\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[option]$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z| = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Pour l'argument : $\cos\theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. L'image de $z$ est dans le quatrième quadrant : $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$.
Donc $z = 2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$"]Non.
Le signe de l'argument est faux : la partie imaginaire de $z$ est négative, donc $\sin\theta < 0$ et l'argument est négatif (modulo $2\pi$).[/reponse]
[reponse motif="$4\,e^{-i\pi/4}$"]Non.
Le module est mal calculé : $|z|^{2} = 4 + 4 = 8$, donc $|z| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ (et non $4$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}\,e^{-i\,3\pi/4}$"]Non.
$-\dfrac{3\pi}{4}$ correspond au troisième quadrant ($\cos < 0$, $\sin < 0$). Or pour $z = 2 - 2i$, on a $a = 2 > 0$ : on est dans le quatrième quadrant (à droite et en bas).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $|z|$ et déterminer le quadrant à partir des signes de la partie réelle et imaginaire. Pour $z = 2 - 2i$, image en bas à droite, l'argument est entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(0)$, $B(2)$ et $C(1 + i\sqrt{3})$. Le triangle $ABC$ est :
[qcm]
[option]rectangle en $A$ et non isocèle[/option]
[option]isocèle en $A$ mais pas équilatéral[/option]
[option correct="true"]équilatéral[/option]
[option]quelconque[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On forme $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.
Module : $|Z| = \dfrac{\sqrt{1 + 3}}{2} = 1$, donc $AC = AB$ (isocèle en $A$).
Argument : $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\arg(Z) = \dfrac{\pi}{3}$.
Triangle isocèle avec un angle $\dfrac{\pi}{3}$ : c'est un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="rectangle en $A$ et non isocèle"]Non.
Pour qu'il soit rectangle en $A$, il faudrait $\arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{2}$, donc $Z$ imaginaire pur. Or $Z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ a une partie réelle non nulle.[/reponse]
[reponse motif="isocèle en $A$ mais pas équilatéral"]Non.
$|Z| = 1$ donne bien isocèle en $A$. Mais l'angle vaut $\dfrac{\pi}{3}$ : un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ a tous ses angles égaux à $\dfrac{\pi}{3}$, il est donc équilatéral.[/reponse]
[reponse motif="quelconque"]Non.
Calculer effectivement le module et l'argument de $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ révèle ici une structure très particulière (module $1$, argument $\dfrac{\pi}{3}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode : poser $Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$, calculer $|Z|$ et $\arg(Z)$. Le module donne le rapport $\dfrac{AC}{AB}$, l'argument donne l'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le module du nombre complexe $z = \dfrac{(1 + i)^{4}}{2 - 2i}$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$2\sqrt{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ et $|z_{1}^{n}| = |z_{1}|^{n}$ :
$|1 + i| = \sqrt{2}$ donc $|(1+i)^{4}| = (\sqrt{2})^{4} = 4$.
$|2 - 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$.
Donc $|z| = \dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Erreur de simplification : $\dfrac{4}{2\sqrt{2}}$ ne vaut pas $2$ ; en effet $\dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (en multipliant haut et bas par $\sqrt{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$2\sqrt{2}$"]Non.
$2\sqrt{2}$ est le module du dénominateur $2 - 2i$, et non celui du quotient. Penser à diviser le module du numérateur par celui du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$"]Non.
On a inversé numérateur et dénominateur : c'est $|2 - 2i| / |(1+i)^{4}| = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, qui est le module de $\dfrac{1}{z}$ et non de $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément les modules du numérateur et du dénominateur, puis faire le quotient. Penser que $|z^{n}| = |z|^{n}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La partie réelle du nombre $z = e^{i\pi/3}$ vaut :
[qcm]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc la partie réelle vaut $\cos\theta$. Ici $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est la valeur de $\sin\dfrac{\pi}{3}$, donc la partie imaginaire de $e^{i\pi/3}$. La partie réelle est $\cos\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\cos\dfrac{\pi}{3} = +\dfrac{1}{2}$ (et non $-\dfrac{1}{2}$). $\dfrac{\pi}{3}$ est dans le premier quadrant, donc cosinus positif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion entre l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la valeur de son cosinus. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. La partie réelle est $\cos\theta$, la partie imaginaire est $\sin\theta$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En appliquant la formule de Moivre, $\cos(2\theta)$ s'exprime en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ par :
[qcm]
[option]$2\cos\theta\sin\theta$[/option]
[option]$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$[/option]
[option correct="true"]$\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$[/option]
[option]$2\cos\theta$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$.
En développant : $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2} = \cos^{2}\theta + 2i\cos\theta\sin\theta - \sin^{2}\theta$.
En identifiant les parties réelles : $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta\sin\theta$"]Non.
$2\cos\theta\sin\theta$ est la partie imaginaire du développement, donc l'expression de $\sin(2\theta)$ et non de $\cos(2\theta)$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta$"]Non.
$\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ est l'identité fondamentale (constante), pas une expression dépendant de $\theta$. $\cos(2\theta)$ varie entre $-1$ et $1$, donc ne peut pas être constamment égal à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2\cos\theta$"]Non.
Cette expression ne provient d'aucun développement correct. La formule de Moivre fait apparaître à la fois $\cos^{2}\theta$ et $\sin^{2}\theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^{2}$ comme un carré et identifier avec $\cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$. La partie réelle donne $\cos(2\theta)$, la partie imaginaire donne $\sin(2\theta)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme exponentielle $z = r\,e^{i\theta}$ (avec $r > 0$). L'inverse $\dfrac{1}{z}$ s'écrit :
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$[/option]
[option]$r\,e^{-i\theta}$[/option]
[option]$-r\,e^{i\theta}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r\,e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times \dfrac{1}{e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r} \times e^{-i\theta}$.
Le module est inversé ($\dfrac{1}{r}$), l'argument est opposé ($-\theta$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{r}\,e^{i\theta}$"]Non.
Le module est bien inversé, mais l'argument doit être opposé aussi : $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = -\arg(z)$, donc $-\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$r\,e^{-i\theta}$"]Non.
L'argument est correctement opposé, mais le module aussi doit être inversé : $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{r}$, et non $r$.[/reponse]
[reponse motif="$-r\,e^{i\theta}$"]Non.
$-r\,e^{i\theta} = -z$ est l'opposé de $z$, pas son inverse. L'inverse change à la fois le module ($\dfrac{1}{r}$) et le signe de l'argument ($-\theta$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour l'inverse d'un complexe non nul en forme exponentielle : module inversé ($\dfrac{1}{r}$), argument opposé ($-\theta$). Cela donne $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Formules d’Euler et de Moivre

[enonce]
Ce QCM porte sur les formules d'Euler et de Moivre : expressions de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puissances de $\cos\theta + i\sin\theta$, linéarisation et applications. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
D'après les formules d'Euler, $\cos\theta$ s'écrit :
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$[/option]
[option]$\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$.
En additionnant : $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$, donc $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$"]Non.
Une soustraction fait disparaître les cosinus (qui sont identiques dans les deux exponentielles), pas les sinus. C'est cosinus qui se trouve dans la somme, pas dans la différence.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$"]Non.
Cette expression est celle de $\sin\theta$. Pour le sinus, on prend la différence et on divise par $2i$ ; pour le cosinus, on prend la somme et on divise par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$"]Non.
Le diviseur $2i$ ne convient pas pour $\cos\theta$ : il transformerait un réel en imaginaire pur. Pour cosinus, le diviseur est simplement $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repartir de $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$. La somme isole $\cos\theta$, la différence isole $i\sin\theta$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après la formule de Moivre, pour tout entier $n$, $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n}$ vaut :
[qcm]
[option]$\cos^{n}\theta + i\sin^{n}\theta$[/option]
[option]$n\cos\theta + in\sin\theta$[/option]
[option correct="true"]$\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$[/option]
[option]$\cos(\theta^{n}) + i\sin(\theta^{n})$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule de Moivre s'écrit $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. Elle se déduit immédiatement de la forme exponentielle : $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$.[/reponse]
[reponse motif="$\cos^{n}\theta + i\sin^{n}\theta$"]Non.
Une puissance ne se distribue pas séparément sur $\cos\theta$ et $\sin\theta$ comme on distribuerait sur une somme de termes indépendants. C'est l'angle $n\theta$ qui apparaît, pas les puissances $\cos^{n}\theta$ et $\sin^{n}\theta$.[/reponse]
[reponse motif="$n\cos\theta + in\sin\theta$"]Non.
Une puissance n'est pas une multiplication par $n$. Cette écriture mélange les règles : ce n'est ni une distribution correcte, ni la formule de Moivre.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(\theta^{n}) + i\sin(\theta^{n})$"]Non.
C'est l'angle multiplié par $n$ qui intervient (donc $n\theta$), pas l'angle élevé à la puissance $n$ ($\theta^{n}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la forme exponentielle : $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. C'est la formule de Moivre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après la formule de Moivre, $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{6}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$i$[/option]
[option]$-i$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
D'après la formule de Moivre :
$\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{6} = \cos\left(6 \times \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \times \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Erreur de signe : $\cos\pi = -1$ (et non $+1$). Pour obtenir $1$, il faudrait $n\theta = 0 \mod 2\pi$, soit ici $n \times \dfrac{\pi}{6} = 2\pi$ donc $n = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$i$"]Non.
$\sin\pi = 0$, pas $1$ : il n'y a pas de partie imaginaire dans le résultat. Pour obtenir $i$, il faudrait $n\theta = \dfrac{\pi}{2}$, soit $n = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-i$"]Non.
$\sin\pi = 0$ : la partie imaginaire est nulle. Le résultat est un réel négatif, pas un imaginaire pur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule de Moivre $(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ avec $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ et $n = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En linéarisant à l'aide des formules d'Euler, $\cos^{2}\theta$ s'écrit :
[qcm]
[option]$\dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\cos(2\theta) - 1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$[/option]
[option]$\cos(2\theta)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On part de $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, donc :
$\cos^{2}\theta = \dfrac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^{2}}{4} = \dfrac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4} = \dfrac{2\cos(2\theta) + 2}{4} = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$"]Non.
Cette expression est celle de $\sin^{2}\theta$ (pas de $\cos^{2}\theta$). Pour cosinus carré, le signe devant $\cos(2\theta)$ est $+$, pas $-$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\cos(2\theta) - 1}{2}$"]Non.
$\cos^{2}\theta$ est toujours positif ou nul. Or $\dfrac{\cos(2\theta) - 1}{2}$ est toujours négatif ou nul (car $\cos(2\theta) \leqslant 1$). Le signe du numérateur est inversé.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(2\theta)$"]Non.
$\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1$, ce qui ne se résume pas à $\cos^{2}\theta$. La linéarisation donne une expression avec un $\dfrac{1}{2}$ et un $\cos(2\theta)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Élever $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ au carré et reconnaître $e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} = 2\cos(2\theta)$. Le terme central donne le $\dfrac{1}{2}$ constant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $(1 + i)^{8}$ vaut :
[qcm]
[option]$-16$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$16i$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On passe à la forme exponentielle : $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. D'après Moivre :
$(1+i)^{8} = (\sqrt{2})^{8} \times e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4} = 2^{4} \times e^{i\,2\pi} = 16 \times 1 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Le bon module $16$ a été obtenu, mais l'argument est mal calculé : $8 \times \dfrac{\pi}{4} = 2\pi$ correspond à un tour complet, donc $e^{i\,2\pi} = 1$ (et non $-1$).[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
L'argument $2\pi$ donne bien $1$ pour la partie exponentielle, mais le module $(\sqrt{2})^{8}$ a été oublié : $(\sqrt{2})^{8} = 2^{4} = 16$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$16i$"]Non.
L'argument total $8 \times \dfrac{\pi}{4} = 2\pi$ fait revenir au point de départ ($e^{i\,2\pi} = 1$), donc le résultat est réel. Pour avoir $16i$, il faudrait un argument $\dfrac{\pi}{2}$, ce qui ne correspond pas ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mettre $1 + i$ sous forme exponentielle ($\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$), puis appliquer Moivre : $r^{n}\,e^{in\theta}$ avec $n = 8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après les formules d'Euler, $\sin\theta$ vaut :
[qcm]
[option]$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$[/option]
[option]$\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$[/option]
[option]$\dfrac{e^{-i\theta} - e^{i\theta}}{2i}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$.
En soustrayant : $e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$, d'où $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$"]Non.
La différence $e^{i\theta} - e^{-i\theta}$ vaut $2i\sin\theta$ : il y a un facteur $i$ qui doit être absorbé en divisant par $2i$, pas seulement par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$"]Non.
La somme $e^{i\theta} + e^{-i\theta}$ vaut $2\cos\theta$, qui est réelle. La diviser par $2i$ donnerait un imaginaire pur, ce qui n'est pas le sinus d'un réel.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{e^{-i\theta} - e^{i\theta}}{2i}$"]Non.
L'ordre dans la soustraction est inversé : cela donne $-\sin\theta$ au lieu de $\sin\theta$. La convention est $e^{i\theta} - e^{-i\theta}$ (l'angle positif d'abord).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La différence $e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$. Donc $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Forme exponentielle

[enonce]
Ce QCM porte sur la forme exponentielle d'un nombre complexe : conversion algébrique↔exponentielle, calculs de produits, quotients et puissances. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La forme exponentielle du nombre complexe $z = 1 + i$ est :
[qcm]
[option]$2\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\,e^{i\pi/3}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et un argument vérifiant $\cos\theta = \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
La forme exponentielle est donc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,e^{i\pi/4}$"]Non.
Le module est $|z| = \sqrt{2}$ (et non $2$). On a $|z|^{2} = 1 + 1 = 2$, donc $|z| = \sqrt{2}$ après prise de la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\,e^{i\pi/3}$"]Non.
À $\dfrac{\pi}{3}$, on a $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : ces valeurs ne sont pas égales, contrairement à ce qui est attendu pour $1 + i$ où parties réelle et imaginaire coïncident.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$"]Non.
Avec un argument $-\dfrac{\pi}{4}$, on aurait $\sin\theta < 0$ donc une partie imaginaire négative. Or $1 + i$ a une partie imaginaire $+1 > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Procédure : calculer $r = |z|$, déterminer $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$, puis écrire $z = r\,e^{i\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le produit $e^{i\pi/3} \times e^{i\pi/6}$ vaut :
[qcm]
[option]$e^{i\pi/9}$[/option]
[option]$e^{i\pi/18}$[/option]
[option correct="true"]$e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$e^{i\,2\pi/3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La règle est $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$. Ici on additionne les arguments :
$\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.
Donc le produit vaut $e^{i\pi/2}$ (qui vaut aussi $i$).[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\pi/9}$"]Non.
On a additionné les dénominateurs $3 + 6 = 9$ sans mettre les fractions au même dénominateur. La somme correcte est $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi + \pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\pi/18}$"]Non.
Les arguments ont été multipliés au lieu d'être additionnés : c'est une confusion avec la propriété de la puissance. La propriété est $e^{i\theta} \cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{i\,2\pi/3}$"]Non.
La somme $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}$ ne vaut pas $\dfrac{2\pi}{3}$. Bien mettre au même dénominateur ($6$) avant d'additionner les numérateurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour multiplier deux exponentielles complexes de modules $1$, on conserve le module $1$ et on additionne les arguments. Mettre les fractions au même dénominateur avant d'additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le quotient $\dfrac{6\,e^{i\,2\pi/3}}{2\,e^{i\pi/6}}$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$4\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$3\,e^{i\,5\pi/6}$[/option]
[option]$3\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On divise les modules et on soustrait les arguments :
Module : $\dfrac{6}{2} = 3$.
Argument : $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi - \pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.
Donc le quotient vaut $3\,e^{i\pi/2}$.[/reponse]
[reponse motif="$4\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Pour les modules, il faut diviser $6$ par $2$ (et non soustraire). $6 - 2 = 4$ alors que $\dfrac{6}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{i\,5\pi/6}$"]Non.
Les arguments doivent être soustraits (pas additionnés) lors d'une division : $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$, pas $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{-i\pi/2}$"]Non.
On a inversé l'ordre dans la soustraction des arguments. Pour $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}$, c'est $\theta - \theta'$ et non $\theta' - \theta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour diviser deux complexes en forme exponentielle, $\dfrac{r\,e^{i\theta}}{r'\,e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}$. Diviser les modules, soustraire les arguments.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La puissance $\left(2\,e^{i\pi/4}\right)^{3}$ vaut :
[qcm]
[option]$6\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$2\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$8\,e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$8\,e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On élève le module à la puissance et on multiplie l'argument par l'exposant :
Module : $2^{3} = 8$.
Argument : $3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.
Donc $\left(2\,e^{i\pi/4}\right)^{3} = 8\,e^{i\,3\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$6\,e^{i\,3\pi/4}$"]Non.
Pour le module, il faut élever $2$ au cube : $2^{3} = 8$ (et non $2 \times 3 = 6$).[/reponse]
[reponse motif="$2\,e^{i\,3\pi/4}$"]Non.
Le module a été oublié dans le calcul : $2^{3} = 8$, pas $2$. La règle est $(re^{i\theta})^{n} = r^{n}\,e^{in\theta}$.[/reponse]
[reponse motif="$8\,e^{i\pi/4}$"]Non.
L'argument doit être multiplié par l'exposant : $3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$, et non rester $\dfrac{\pi}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour élever à la puissance $n$ : élever le module à la puissance $n$ et multiplier l'argument par $n$. Formellement, $\left(re^{i\theta}\right)^{n} = r^{n}\,e^{in\theta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $e^{i\pi}$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$i$[/option]
[option]$-i$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est l'identité d'Euler : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$. On en déduit la célèbre relation $e^{i\pi} + 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$e^{i \cdot 0} = 1$ et $e^{i \cdot 2\pi} = 1$, mais $e^{i\pi}$ correspond à un demi-tour, pas à un tour complet : on tombe sur le réel négatif $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$i$"]Non.
$e^{i\pi/2} = i$ correspond à un quart de tour. Le demi-tour ($\theta = \pi$) donne $-1$, pas $i$.[/reponse]
[reponse motif="$-i$"]Non.
$e^{-i\pi/2} = -i$ correspond à un quart de tour dans le sens horaire. Pour $\theta = \pi$, le résultat est réel : $-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ avec $\theta = \pi$ : $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme exponentielle de $z = -3i$ est :
[qcm]
[option]$3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option]$-3\,e^{i\pi/2}$[/option]
[option correct="true"]$3\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[option]$9\,e^{-i\pi/2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z| = |-3i| = 3$ (le module est toujours positif).
L'image de $-3i$ a pour coordonnées $(0\,;\, -3)$ : c'est sur l'axe des ordonnées en dessous de $O$, d'argument $-\dfrac{\pi}{2}$.
Donc $z = 3\,e^{-i\pi/2}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Cela donnerait $3 \times i = 3i$ (et non $-3i$). L'argument doit être négatif puisque la partie imaginaire est négative.[/reponse]
[reponse motif="$-3\,e^{i\pi/2}$"]Non.
Le module d'un nombre complexe est toujours positif ou nul, jamais négatif. Le signe doit être absorbé par l'argument.[/reponse]
[reponse motif="$9\,e^{-i\pi/2}$"]Non.
On a confondu module et carré du module : $|z|^{2} = 9$ mais $|z| = \sqrt{9} = 3$. Ne pas oublier la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un imaginaire pur $z = ib$ : si $b > 0$, l'argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ; si $b < 0$, l'argument est $-\dfrac{\pi}{2}$. Le module est $|b|$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $, on considère le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, de centre $ O $ tel que $ \overrightarrow{OA_0} = \vec{u} $.

On rappelle que dans le pentagone régulier $ A_0A_1A_2A_3A_4 $, ci-dessus :

$ A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3 $ et $ A_4 $appartiennent au cercle trigonométrique ;
$ k $ appartenant à $ \{0~;~1~;~2~;~3\} $ on a $ \left(\overrightarrow{OA_k}~;~\overrightarrow{OA}_{k+1}\right) = \dfrac{2\pi}{5} $.

On considère les points $ B $ d'affixe $ - 1 $ et $ J $ d'affixe $ \dfrac{i}{2} $.

Le cercle $ (\mathscr{C}) $ de centre $ J $ et de rayon $ \dfrac{1}{2} $ coupe le segment $ [BJ] $ en un point $ K $.

Calculer $ BJ $, puis en déduire $ BK $.

Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $ A_2 $. Justifier brièvement.
Démontrer que $ B{A_2}^{2} = 2+ 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $.

Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

1.	*cos(4pi/5)**
		$ \to \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
2.	sqrt((3-sqrt(5))/2) $ $
		$ \to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right) $

"sqrt" signifie "racine carrée"

En déduire, grâce à ces résultats, que $ BA_2 = BK $.

Dans le repère $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Corrigé

Rappel

Pour deux points $ A(z_A) $ et $ B(z_B) $, la longueur $ AB $ est égale à $ \left|z_B - z_A\right| $.

$ BJ = \left|z_J - z_B\right| $

$ \phantom{BJ }= \left|\dfrac{i}{2}+1\right| $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{1+\dfrac{1}{4}} $

$ \phantom{BJ }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} $

Les points $ B, K $ et $ J $ étant alignés dans cet ordre :

$ BK=BJ - KJ $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} $ car $ KJ $ est un rayon du cercle $ \mathscr C $

$ \phantom{BK}=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $
1. Notons $ z_2 $ l'affixe du point $ A_2 $.
  
  Comme $ A_2 $ est situé sur le cercle trigonométrique, $ |z_2|=1 $.
  
  Un argument de $ z_2 $ est une mesure de l'angle orienté $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2}) $.
  
  D'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=(\vec{u}, \overrightarrow{OA_1})+(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}) $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  $ (\vec{u}, \overrightarrow{OA_2})=\dfrac{4\pi}{5} \quad [2\pi] $
  
  La forme exponentielle de $ z_2 $ est donc $ z_2=e^{i \frac{4\pi}{5}} $
2. Par conséquent :
  
  $ z_2=\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ B{A_2}^2=\left|z_2 - ( - 1) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left|1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right|^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right)^2+\left(\sin\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)^2 $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=1+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=2+2\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\quad $ car $ \cos^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)=1 $
3. D'après le logiciel de calcul formel (ligne 1) : $ \cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)= \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $.
  
  Donc :
  
  $ B{A_2}^2=2+2 \times \dfrac{1}{4}\left( - \sqrt{5} - 1\right) $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{ - \sqrt{5} - 1}{2} $
  
  $ \phantom{B{A_2}^2}=\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} $
  
  et d'après le logiciel de calcul formel (ligne 2) : $ \sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $.
  
  Par conséquent $ BA_2=\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}=BK $.
Dans la suite, on note $ I $ le point d'affixe $ i $. 1ère étape : Construction du milieu $ J $ de $ [OI] $.

On construit au compas la médiatrice du segment $ [OI] $. Cette droite coupe l'axe des ordonnées en $ J $.

2ème étape : Construction du point $ K $

On trace le cercle de centre $ J $ et de rayon $ [OJ] $.

Ce cercle coupe le segment $ [BJ] $ en $ K $.

3ème étape : Construction des points $ A_2 $ et $ A_3 $

On reporte la longueur $ [BK] $ de part et d'autre du point $ B $ sur le cercle trigonométrique.

On obtient alors les points $ A_2 $ et $ A_3 $ (car d'après la question précédente $ BA_2=BK $ et $ A_2 $ et $ A_3 $ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).

4ème étape : Tracé du pentagone

Le segment $ [A_2A_3] $ est un côté du pentagone. On complète la construction en reportant plusieurs fois la longueur $ A_2A_3 $ sur le cercle trigonométrique.

→ Pour réviser : Utiliser la forme exponentielle pour calculer

Nombres complexes – Calcul sinus et cosinus pi/12

Soient $ z=1+i\sqrt{3} $ et $ z^{\prime}=1 - i $

Donner la forme algébrique puis la forme exponentielle de $ zz^{\prime} $
En déduire les valeurs de $ \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right) $ et $ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right) $

Corrigé

Forme algébrique :

$ zz^{\prime}=\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1 - i\right)=1+i\sqrt{3} - i - i^{2}\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right) $

Forme exponentielle :

$ |z|=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 $

Si $ \theta $ est l'argument de $ z $:

$ \cos \theta = \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donc $ \theta =\dfrac{\pi }{3} \left(\text{mod. }. 2\pi \right) $

Donc :

$ z=2e^{i\frac{\pi }{3}} $

De même :

$ |z^{\prime}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} $

Si $ \theta ^{\prime} $ est l'argument de $ z^{\prime} $:

$ \cos \theta ^{\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin \theta ^{\prime} = - \dfrac{1}{\sqrt{2}}= - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ donc $ \theta ^{\prime}= - \dfrac{\pi }{4} \left(\text{mod. }. 2\pi \right) $

Par conséquent :

$ z^{\prime}=\sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}} $

Finalement :

$ zz^{\prime}=2e^{i\frac{\pi }{3}}\times \sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}}=2\sqrt{2}e^{i \left(\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \frac{\pi }{12}} $
D'après la question précédente :

$ zz^{\prime}=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)\right) $

et

$ zz^{\prime}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right) $

Donc :

$ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $

$ \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

Racines n-ièmes de l’unité et polygone régulier

Corrigé

Vrai/Faux : Formule de Moivre

QCM Bilan : Nombres complexes et géométrie

QCM : Formules d’Euler et de Moivre

QCM : Forme exponentielle

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2016

Corrigé

Rappel

Nombres complexes – Calcul sinus et cosinus pi/12

Corrigé