Probabilités – Roulette de casino – Brevet Métropole 2024

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36.

La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

Roue de la roulette européenne avec 37 cases numérotées de 0 à 36 ; le 0 est vert, les autres cases alternent rouge et noir suivant la disposition standard

Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $ \dfrac{1}{37} $.
Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
1. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
2. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
3. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

Corrigé

La roue comporte les numéros entiers de 0 à 36, soit $ 37 - 0 + 1 = 37 $ numéros.

L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chacun des numéros : il y a donc équiprobabilité entre les 37 issues.

La probabilité d'obtenir le numéro 7 est :

$ P(7) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}} = \dfrac{1}{37} $
D'après la disposition de la roulette européenne, les cases noires portent les numéros : 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35.

Parmi celles-ci, les numéros pairs sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases noires et paires.

$ P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37} $
1. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, soit 7 issues favorables sur 37.
  
  $ P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37} $
2. Les événements « obtenir un numéro $ \leqslant 6 $ » et « obtenir un numéro $ \geqslant 7 $ » sont contraires (puisque les numéros sont des entiers de 0 à 36).
  
  $ P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - P(\text{numéro} \leqslant 6) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37 - 7}{37} = \dfrac{30}{37} $
3. On compare $ \dfrac{30}{37} $ à $ \dfrac{3}{4} $ en les ramenant au même dénominateur 148 :
  
  $ \dfrac{30}{37} = \dfrac{30 \times 4}{37 \times 4} = \dfrac{120}{148} $ et $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 37}{4 \times 37} = \dfrac{111}{148} $.
  
  Comme $ \dfrac{120}{148} > \dfrac{111}{148} $, on a $ \dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4} $.
  
  Le joueur a donc raison : la probabilité d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 dépasse bien $ \dfrac{3}{4} $.

Deux roues : former un nombre

[enonce]
On fait tourner deux roues de loterie.

La roue A comporte 3 secteurs identiques portant les chiffres 1, 2 et 3.
La roue B comporte 4 secteurs identiques portant les chiffres 1, 4, 5 et 8.

Le chiffre obtenu avec la roue A donne le chiffre des dizaines et le chiffre obtenu avec la roue B donne le chiffre des unités. On forme ainsi un nombre à deux chiffres.
Par exemple, si la roue A donne 2 et la roue B donne 5, on obtient le nombre 25.
Voici le tableau à double entrée des nombres possibles :

	1	4	5	8
1	11	14	15	18
2	21	24	25	28
3	31	34	35	38

[/enonce]

[etape]
Combien de nombres différents peut-on former avec ces deux roues ?

[qcm]
[option]7[/option]
[option correct="true"]12[/option]
[option]24[/option]
[option]9[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La roue A a 3 secteurs et la roue B en a 4. Le nombre total d'issues est $3 \times 4 = 12$, ce qui correspond aux 12 cases du tableau.[/reponse]
[reponse motif="7"]$7 = 3 + 4$ : il ne faut pas additionner les secteurs mais les combiner. Chaque résultat de la roue A peut être associé à chacun des résultats de la roue B.[/reponse]
[reponse motif="24"]$24 = 3 \times 4 \times 2$ : attention, on ne forme le nombre que dans un seul sens (A donne les dizaines, B les unités).[/reponse]
[reponse motif="9"]$9 = 3 \times 3$ : attention, la roue B comporte 4 secteurs, pas 3.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le nombre total d'issues est le produit du nombre de secteurs de chaque roue.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Le nombre total d'issues est $3 \times 4 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[ppair]]

[math id="ppair" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un nombre est pair si son chiffre des unités est pair. Dans la roue B, les chiffres pairs sont 4 et 8, soit 2 chiffres sur 4.
Pour chaque ligne du tableau, il y a donc 2 cases paires sur 4 : au total, $3 \times 2 = 6$ cases sur 12.

$p(\text{pair}) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{4}"]Attention, un nombre est pair quand son chiffre des unités est pair (donné par la roue B). Les chiffres pairs de la roue B sont 4 et 8, soit 2 possibilités sur 4.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Un nombre est pair si son chiffre des unités est pair. Repérer dans le tableau les cases dont le chiffre des unités (roue B) est pair.[/reponse]
[aide essai="2"]Un nombre est pair quand son chiffre des unités est pair. Quels sont les chiffres pairs de la roue B ?[/aide]
[aide essai="3"]Chiffres pairs de B : 4 et 8. Pour chaque ligne, 2 cases sur 4 donnent un nombre pair. Total : $3 \times 2 = 6$ cases.[/aide]
[/math]

[solution]
Les chiffres pairs de la roue B sont 4 et 8. Il y a $3 \times 2 = 6$ cases paires sur 12, donc $p(\text{pair}) = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 5. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[p5]]

[math id="p5" attendu="\frac{1}{4}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un nombre est multiple de 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Seul le chiffre 5 figure sur la roue B.
Il y a donc 3 cases favorables (15, 25, 35) sur 12 :

$p(\text{multiple de 5}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{12}"]Il y a plus d'un multiple de 5. Un nombre est multiple de 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Combien de lignes contiennent une case dont le chiffre des unités est 5 ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Un nombre est multiple de 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5. Compter dans le tableau les cases terminant par 5.[/reponse]
[aide essai="2"]La roue B contient le chiffre 5 (mais pas le 0). Pour chaque ligne du tableau, combien de cases se terminent par 5 ?[/aide]
[aide essai="3"]Colonne du 5 : 15, 25, 35, soit 3 cases. $\dfrac{3}{12}$ à simplifier.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{multiple de 5}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 25. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[psup]]

[math id="psup" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les nombres supérieurs ou égaux à 25 dans le tableau sont :
Ligne 2 : 25, 28 (2 cases).
Ligne 3 : 31, 34, 35, 38 (4 cases).
Soit $2 + 4 = 6$ cases favorables sur 12 :

$p(\geqslant 25) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{12}"]Attention, dans la ligne 2, les nombres 25 et 28 sont supérieurs ou égaux à 25. Ne pas oublier le 25 lui-même.[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{3}"]Il ne faut pas oublier la ligne 2. Les nombres 25 et 28 sont supérieurs ou égaux à 25, en plus des 4 nombres de la ligne 3.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer dans le tableau toutes les cases dont la valeur est 25 ou plus, puis diviser par 12.[/reponse]
[aide essai="2"]Ligne par ligne : compter les cases de valeur $\geqslant 25$. La ligne 1 (11-18) ne contient aucun nombre $\geqslant 25$.[/aide]
[aide essai="3"]Ligne 2 : 25, 28 (2 cases). Ligne 3 : 31, 34, 35, 38 (4 cases). Total : $2 + 4 = 6$ cases.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\geqslant 25) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ (6 cases favorables sur 12).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité que le nombre formé ne soit pas un multiple de 5. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[pcontr]]

[math id="pcontr" attendu="\frac{3}{4}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement « ne pas être un multiple de 5 » est le contraire de « être un multiple de 5 ». Par la formule de l'événement contraire :

$p(\text{pas multiple de 5}) = 1 - p(\text{multiple de 5}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{1}{4}"]$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité d'obtenir un multiple de 5, pas son contraire. Pour l'événement contraire, il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'événement contraire a pour probabilité $1 - p(\text{événement})$. On a calculé $p(\text{multiple de 5})$ à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{pas multiple de 5}) = 1 - p(\text{multiple de 5})$.[/aide]
[aide essai="3"]$1 - \dfrac{1}{4} = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{pas multiple de 5}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

Tableau croisé : enquête au collège

[enonce]
On interroge 200 élèves d'un collège sur leurs activités extra-scolaires. On note :

$S$ l'événement « l'élève pratique un sport »
$M$ l'événement « l'élève pratique la musique »

On sait que :

120 élèves pratiquent un sport
70 élèves pratiquent la musique
30 élèves pratiquent à la fois un sport et la musique

On choisit un élève au hasard parmi les 200. Calculer la probabilité que cet élève ne pratique ni sport ni musique.

	$M$	$\overline{M}$	Total
$S$	30	?	120
$\overline{S}$	?	?	?
Total	70	?	200

[/enonce]

[etape]
Parmi les 120 élèves qui pratiquent un sport, 30 pratiquent aussi la musique. Combien d'élèves pratiquent un sport mais pas la musique ?

[[sm]]

[math id="sm" attendu="90"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$120 - 30 = 90$ élèves pratiquent un sport sans pratiquer la musique.[/reponse]
[reponse motif="150"]$150 = 120 + 30$ : il ne faut pas additionner mais soustraire les élèves qui font les deux activités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Parmi les 120 sportifs, 30 font aussi de la musique. Les autres font du sport uniquement.[/reponse]
[aide essai="2"]La ligne $S$ du tableau se décompose en : ceux qui font sport ET musique (30) et ceux qui font sport SANS musique.[/aide]
[aide essai="3"]$120 - 30 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$120 - 30 = 90$ élèves pratiquent un sport mais pas la musique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Compléter le tableau. Combien d'élèves ne pratiquent ni sport ni musique ?

[[ni]]

[math id="ni" attendu="40"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On complète le tableau étape par étape :
Total $\overline{S}$ (élèves sans sport) : $200 - 120 = 80$.
Colonne $M$, élèves sans sport mais avec musique : $70 - 30 = 40$.
Donc les élèves sans sport ni musique : $80 - 40 = 40$.

	$M$	$\overline{M}$	Total
$S$	30	90	120
$\overline{S}$	40	40	80
Total	70	130	200

[/reponse]
[reponse motif="80"]$80 = 200 - 120$ est le nombre total d'élèves ne pratiquant pas de sport. Parmi eux, certains pratiquent la musique. Il faut encore retrancher ceux-là.[/reponse]
[reponse motif="10"]Revoir le calcul. Le nombre d'élèves qui font musique sans sport est $70 - 30 = 40$, pas 70.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Compléter d'abord la colonne des totaux, puis chaque ligne. Le nombre cherché est la case « sans sport et sans musique » du tableau.[/reponse]
[aide essai="2"]D'abord, total des élèves sans sport : $200 - 120 = 80$. Puis, ceux sans sport mais avec musique : $70 - 30 = 40$. Enfin, ceux sans sport ni musique : $80 - 40 = \ldots$[/aide]
[aide essai="3"]$80 - 40 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
Total des élèves sans sport : $200 - 120 = 80$. Musique sans sport : $70 - 30 = 40$. Ni l'un ni l'autre : $80 - 40 = 40$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard pratique à la fois un sport et la musique. Donner la fraction irréductible : [[pinter]]

[math id="pinter" attendu="\frac{3}{20}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !

$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{30}{70}"]Le dénominateur doit être le nombre total d'élèves (200), pas le nombre d'élèves pratiquant la musique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{\text{nombre d'élèves faisant les deux}}{\text{nombre total d'élèves}}$.[/reponse]
[aide essai="2"]30 élèves pratiquent les deux activités. Le total est 200.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{30}{200}$. Simplifier par 10.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Combien d'élèves pratiquent un sport ou la musique (ou les deux) ?

Quelle méthode utiliser ?

[qcm]
[option correct="true"]Compter les élèves qui pratiquent au moins une activité : $120 + 70 - 30 = 160$[/option]
[option]Additionner simplement : $120 + 70 = 190$[/option]
[option]Multiplier : $120 \times 70 = 8\,400$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si on additionne $120 + 70$, on compte deux fois les 30 élèves qui font les deux. Il faut les retrancher une fois :

$120 + 70 - 30 = 160$

[/reponse]
[reponse motif="Additionner simplement : $120 + 70 = 190$"]En additionnant $120 + 70$, on compte deux fois les 30 élèves qui pratiquent les deux activités. Il faut retrancher ce double comptage.[/reponse]
[reponse motif="Multiplier : $120 \times 70 = 8\,400$"]La multiplication s'utilise pour dénombrer les issues d'expériences successives, pas pour compter des élèves pratiquant l'une ou l'autre activité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les événements $S$ et $M$ ne sont pas incompatibles (30 élèves font les deux). On ne peut pas simplement additionner.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
$120 + 70 - 30 = 160$ élèves pratiquent au moins une activité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la probabilité qu'un élève pratique un sport ou la musique (ou les deux). Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[punion]]

[math id="punion" attendu="\frac{4}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !

$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{19}{20}"]$\dfrac{190}{200}$ : attention, en additionnant $120 + 70 = 190$ on compte deux fois les 30 élèves qui font les deux activités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]160 élèves pratiquent au moins une activité sur un total de 200. Diviser et simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{160}{200} = \dfrac{160 \div 40}{200 \div 40}$.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ne pratique ni sport ni musique. Donner la fraction irréductible : [[pni]]

[math id="pni" attendu="\frac{1}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement « ni sport ni musique » est le contraire de « sport ou musique ».

$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - p(\text{sport ou musique}) = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$

On peut vérifier : $\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{5}"]$\dfrac{4}{5}$ est la probabilité de pratiquer au moins une activité. Pour « ni l'un ni l'autre », il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]« Ni sport ni musique » est le contraire de « sport ou musique ». Utiliser la formule de l'événement contraire.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - p(\text{sport ou musique})$.[/aide]
[aide essai="3"]$1 - \dfrac{4}{5} = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$.
Il y a une chance sur cinq que l'élève choisi ne pratique ni sport ni musique.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Arbre pondéré

[enonce]
Avant un contrôle, Amine révise avec une probabilité de $\dfrac{3}{4}$.
S'il a révisé, il réussit le contrôle avec une probabilité de $\dfrac{4}{5}$.
S'il n'a pas révisé, il réussit avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$.

Arbre pondéré : révision et contrôle d'Amine

Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine ait révisé et réussi le contrôle est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On suit le chemin Révisé puis Réussi et on multiplie les probabilités :

$p(\text{Révisé et Réussi}) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités des branches successives :
$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le chemin Révisé-Réussi donne $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine réussisse le contrôle est $\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{15}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On ne peut pas additionner directement les probabilités conditionnelles. De plus, $\dfrac{17}{15} > 1$, ce qui est impossible pour une probabilité.
Il faut d'abord calculer la probabilité de chaque chemin menant à « Réussi », puis additionner :
$p(\text{Réussi}) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{36}{60} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{41}{60}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le résultat $\dfrac{17}{15}$ est supérieur à 1, ce qui est impossible pour une probabilité. On ne peut pas additionner les probabilités conditionnelles sans les pondérer.
Il faut calculer chaque chemin : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{41}{60}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut pondérer chaque probabilité conditionnelle par la probabilité de la première branche. On obtient $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine n'ait pas révisé et ait échoué est $\dfrac{2}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité d'échouer sachant qu'Amine n'a pas révisé. Pour obtenir la probabilité du chemin complet, il faut multiplier par la probabilité de ne pas avoir révisé :

$p(\text{Pas révisé et Échoué}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la probabilité inscrite sur une branche avec la probabilité du chemin complet. La valeur $\dfrac{2}{3}$ n'est que la probabilité de la seconde branche.
Le chemin complet donne : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité du chemin est $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$, pas $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La somme des probabilités des quatre chemins de cet arbre est égale à 1.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les quatre chemins et leurs probabilités sont :
$p(\text{R. et Réussi}) = \dfrac{3}{5}$, $p(\text{R. et Échoué}) = \dfrac{3}{20}$, $p(\text{P.R. et Réussi}) = \dfrac{1}{12}$, $p(\text{P.R. et Échoué}) = \dfrac{1}{6}$.
En mettant au même dénominateur : $\dfrac{36}{60} + \dfrac{9}{60} + \dfrac{5}{60} + \dfrac{10}{60} = \dfrac{60}{60} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans tout arbre pondéré, la somme des probabilités de tous les chemins est toujours égale à 1, car les chemins représentent l'ensemble de toutes les issues possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités de tous les chemins vaut toujours 1.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La probabilité qu'Amine échoue au contrôle est $\dfrac{19}{60}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
« Échouer » est le contraire de « Réussir ». On a calculé $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$, donc :

$p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On peut utiliser l'événement contraire. Comme $p(\text{Réussi}) = \dfrac{41}{60}$ (somme des deux chemins menant à « Réussi »), on obtient $p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par l'événement contraire : $p(\text{Échoué}) = 1 - \dfrac{41}{60} = \dfrac{19}{60}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'événement contraire de « Amine a révisé et réussi » est « Amine n'a pas révisé et a échoué ».

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le contraire de « Révisé et Réussi » est « tout sauf Révisé et Réussi », ce qui inclut trois chemins : Révisé-Échoué, Pas révisé-Réussi et Pas révisé-Échoué.
Ce n'est pas uniquement « Pas révisé et Échoué ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le contraire d'un événement regroupe toutes les issues qui ne le réalisent pas. Le contraire de « Révisé et Réussi » inclut les trois autres chemins de l'arbre, pas seulement « Pas révisé et Échoué ».[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le contraire de « Révisé et Réussi » inclut les trois autres chemins de l'arbre, pas uniquement « Pas révisé et Échoué ».
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les probabilités et l'équiprobabilité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Un sac contient 3 billes rouges et 5 billes bleues, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

Affirmation : La probabilité de tirer une bille rouge est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de billes, pas le nombre de billes bleues.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total et 3 sont rouges, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au dénominateur : en situation d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$, pas $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 8 billes au total (pas 5), donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les nombres supérieurs ou égaux à 5 sur un dé sont 5 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p(\geqslant 5) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut lister les issues favorables : les nombres supérieurs ou égaux à 5 sont 5 et 6, soit 2 issues sur 6.
On obtient bien $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les issues favorables sont 5 et 6, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 10 secteurs identiques numérotés de 1 à 10. On fait tourner la roue.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 3 entre 1 et 10 sont : 3, 6 et 9, soit 3 issues favorables sur 10.
La probabilité est $\dfrac{3}{10}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « 3 issues favorables » avec « une chance sur 3 ». Le dénominateur est le nombre total de secteurs, qui est 10.
Les multiples de 3 sont 3, 6 et 9, donc $p = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 3 multiples de 3 parmi 10 secteurs, donc $p = \dfrac{3}{10} \neq \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. On choisit un élève au hasard.

Affirmation : La probabilité de choisir une fille est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Il y a 18 filles parmi 30 élèves :

$p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On est en situation d'équiprobabilité (choix au hasard). Il y a 18 filles parmi 30 élèves, donc $p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30}$.
En simplifiant par 6 : $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : Les événements « obtenir un chiffre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le chiffre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : les deux événements peuvent se réaliser en même temps.
Ils ne sont donc pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Or le chiffre 6 est pair et multiple de 3 : il réalise les deux événements simultanément.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le chiffre 6 est pair et multiple de 3, donc les deux événements ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Affirmation : La probabilité de ne pas tirer une boule blanche est $\dfrac{4}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise l'événement contraire. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il y a $2 + 8 = 10$ boules au total. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
Par la formule de l'événement contraire : $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $p(\text{blanche}) = \dfrac{1}{5}$, donc $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Ce QCM porte sur la formule d'équiprobabilité, l'événement contraire et les événements incompatibles. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules bleues et 4 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total et 5 sont bleues, donc :

$p(\text{bleue}) = \dfrac{5}{12}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{7}$"]Non.
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de boules, pas le nombre de boules non bleues. Ici il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Il ne faut pas diviser par le nombre de couleurs. La probabilité se calcule en divisant le nombre de boules bleues par le nombre total de boules.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12}$"]Non.
Attention, 7 est le nombre de boules qui ne sont pas bleues ($3 + 4 = 7$). Le numérateur doit être le nombre de boules bleues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On est en situation d'équiprobabilité. Il y a 12 boules au total et 5 sont bleues. Il faut appliquer la formule $p = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
Le chiffre 3 n'est pas le seul multiple de 3 sur un dé. Un multiple de 3 est un nombre qui apparaît dans la table de 3 : il faut aussi compter 6.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Il faut lister les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$. Un multiple de 3 est un nombre divisible par 3, donc qui figure dans la table de 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Attention, $\dfrac{2}{3}$ correspond à la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire « ne pas obtenir un multiple de 3 ». Ici on cherche la probabilité d'obtenir un multiple de 3.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les multiples de 3 parmi les faces du dé sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. On fait tourner la roue. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 5 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les nombres strictement supérieurs à 5 sont 6, 7 et 8, soit 3 issues favorables sur 8 :

$p = \dfrac{3}{8}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{8}$"]Non.
$\dfrac{5}{8}$ correspond à la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 (5 issues sur 8). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention, « strictement supérieur à 5 » signifie « plus grand que 5 », donc le 5 n'est pas inclus. Les issues favorables sont uniquement 6, 7 et 8.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
Le dénominateur doit être le nombre total de secteurs (8), pas la valeur du seuil (5). Il faut appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« Strictement supérieur à 5 » signifie 6, 7 ou 8, soit 3 issues favorables. Le nombre total de secteurs est 8.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 7 boules rouges, 5 boules bleues et 3 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule jaune ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{13}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement contraire de « ne pas tirer une jaune » est « tirer une jaune ». On a $p(\text{jaune}) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas jaune}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
$\dfrac{1}{5}$ est la probabilité de tirer une boule jaune, pas de ne pas en tirer une. Pour obtenir la probabilité de l'événement contraire, il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{15}$"]Non.
Il ne faut pas compter uniquement les boules rouges. « Ne pas tirer une jaune » signifie tirer une boule rouge ou bleue, soit $7 + 5 = 12$ boules favorables sur 15.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{13}{15}$"]Non.
Attention au dénombrement. Il y a 3 boules jaunes parmi 15, donc 12 boules non jaunes : $\dfrac{12}{15}$. Ce résultat se simplifie, mais ne vaut pas $\dfrac{13}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a $7 + 5 + 3 = 15$ boules. L'événement « ne pas tirer une jaune » est le contraire de « tirer une jaune ». On utilise la formule $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un sac contient 12 billes numérotées de 1 à 12. On tire une bille au hasard. On note $A$ l'événement « obtenir un multiple de 4 » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de 6 ». Quelle est la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{24}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$. Le nombre 12 est commun aux deux : les événements ne sont pas incompatibles.
L'ensemble des issues réalisant « $A$ ou $B$ » est $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$, soit 4 issues :

$p(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
Attention, on ne peut pas simplement additionner $p(A) + p(B) = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}$ car les événements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles : le nombre 12 est à la fois multiple de 4 et de 6. En additionnant, on le compte deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de $A$ seul (les multiples de 4). Mais l'événement « $A$ ou $B$ » inclut aussi les multiples de 6 qui ne sont pas multiples de 4.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{24}$"]Non.
Il ne faut pas multiplier les probabilités. La multiplication s'utilise pour des événements successifs (chemins dans un arbre), pas pour « $A$ ou $B$ ». Il faut compter les issues qui réalisent $A$ ou $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister les issues de « $A$ ou $B$ » sans doublon. Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$, ce qui donne $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un dé à six faces a été truqué. Les probabilités de chaque face sont données dans le tableau suivant :

Chiffre	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}5$

Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Les chiffres pairs sont 2, 4 et 6. On additionne leurs probabilités :

$p(\text{pair}) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}5 = 0{,}7$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ est la probabilité d'obtenir le chiffre 6 uniquement. Il y a d'autres chiffres pairs sur le dé : 2 et 4. Il faut additionner les probabilités de tous les chiffres pairs.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la probabilité d'obtenir un chiffre impair ($0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1$). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
On ne peut pas appliquer la formule $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ car le dé est truqué : les faces n'ont pas toutes la même probabilité. Il faut lire les probabilités dans le tableau et les additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le dé étant truqué, il faut additionner les probabilités des faces paires données dans le tableau : $p(2) + p(4) + p(6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Expérience à deux épreuves – Roue et urne

Une roue de loterie est partagée en trois secteurs :

le secteur « Gagné » occupe un quart de la roue ;
le secteur « Perdu » occupe la moitié de la roue ;
le secteur « Rejoue » occupe le reste de la roue.

Règle du jeu : le joueur fait tourner la roue une première fois.

S'il obtient « Gagné », il remporte un lot.
S'il obtient « Perdu », il ne gagne rien.
S'il obtient « Rejoue », il fait tourner la roue une seconde fois. Lors de ce second tour, s'il obtient « Gagné », il remporte un lot ; sinon il ne gagne rien.

Déterminer la probabilité d'obtenir « Rejoue » au premier tour.
Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience. On précisera les probabilités sur chaque branche.
Calculer la probabilité de gagner un lot dès le premier tour de roue.
Calculer la probabilité de gagner un lot au second tour (c'est-à-dire d'obtenir « Rejoue » puis « Gagné »).
En déduire la probabilité totale de gagner un lot au cours du jeu.
Calculer la probabilité de ne gagner aucun lot. Vérifier le résultat à l'aide de l'événement contraire.

Corrigé

Le secteur « Gagné » occupe $\dfrac{1}{4}$ de la roue et le secteur « Perdu » occupe $\dfrac{1}{2}$ de la roue.
Le secteur « Rejoue » occupe le reste :
$ p(\text{Rejoue}) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$
Au premier tour, les issues et leurs probabilités sont :
$p(\text{Gagné}) = \dfrac{1}{4}$, $p(\text{Perdu}) = \dfrac{1}{2}$, $p(\text{Rejoue}) = \dfrac{1}{4}$.
Si le joueur obtient « Rejoue », il relance la roue avec les mêmes probabilités pour chaque secteur.

Vérification : à chaque noeud, la somme des probabilités vaut bien 1.
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le premier tour, et $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$ pour le second tour.
Le joueur gagne dès le premier tour s'il obtient « Gagné » directement :

$ p(\text{Gagné au 1er tour}) = $$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$
Le joueur gagne au second tour s'il obtient le chemin « Rejoue » puis « Gagné ». On multiplie les probabilités le long de ce chemin :

$ p(\text{Rejoue puis Gagné}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = $$\mathbf{\dfrac{1}{16}}$
L'événement « gagner un lot » est réalisé par deux chemins : « Gagné au 1er tour » ou « Rejoue puis Gagné ». Ces deux chemins sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps), on additionne donc leurs probabilités :
$ p(\text{gagner}) = p(\text{Gagné au 1er tour}) + p(\text{Rejoue puis Gagné}) $
$ p(\text{gagner}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16} + \dfrac{1}{16} = $$\mathbf{\dfrac{5}{16}}$
Méthode 1 — par les chemins :
L'événement « ne gagner aucun lot » est réalisé par trois chemins :
- « Perdu » (au 1er tour) : $p = \dfrac{1}{2}$
- « Rejoue puis Perdu » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
- « Rejoue puis Rejoue » : $p = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$
$ p(\text{ne pas gagner}) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16} $

Méthode 2 — par l'événement contraire :
L'événement contraire de « ne gagner aucun lot » est « gagner un lot ». On a :
$ p(\text{ne pas gagner}) = 1 - p(\text{gagner}) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{5}{16} = $$\mathbf{\dfrac{11}{16}}$
Les deux méthodes donnent bien le même résultat : $\dfrac{11}{16}$.

Pour réviser : Construire un arbre pondéré pour une expérience à deux épreuves

Événement contraire et urne

Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges, 6 boules bleues et 5 boules jaunes. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
En déduire la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge.
Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ou jaune ?
Que peut-on constater en comparant les résultats des questions 2 et 3 ? Expliquer.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher et le tirage est au hasard, on est donc en situation d'équiprobabilité.

Il y a 4 boules rouges sur un total de 15 boules, donc :

$ p(\text{rouge}) = \dfrac{4}{15} $
L'événement « tirer une boule qui n'est pas rouge » est l'événement contraire de « tirer une boule rouge ».

On utilise la formule de l'événement contraire :
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - p(\text{rouge}) $
$ p(\overline{\text{rouge}}) = 1 - \dfrac{4}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{4}{15} = $$\mathbf{\dfrac{11}{15}}$
L'événement « tirer une boule bleue ou jaune » est réalisé par $6 + 5 = 11$ boules sur 15, donc :

$ p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15} $
On constate que $p(\overline{\text{rouge}}) = p(\text{bleue ou jaune}) = \dfrac{11}{15}$.

C'est logique : les seules couleurs possibles sont rouge, bleue et jaune. Donc « ne pas tirer une boule rouge » revient exactement à « tirer une boule bleue ou jaune ». L'événement contraire de « rouge » est « bleue ou jaune ».

Probabilités – Brevet Métropole 2017

Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire au hasard une boule et on regarde sa couleur. On replace ensuite la boule dans l'urne et on mélange les boules.
La probabilité d'obtenir une boule verte est $ \dfrac{2}{5} $.

Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir une boule bleue est égale à $ \dfrac{3}{5} $.
Paul a effectué 6 tirages et a obtenu une boule verte à chaque fois.
Au 7$ ^{e} $ tirage, aura-t-il plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte ?
Déterminer le nombre de boules bleues dans cette urne sachant qu'il y a 8 boules vertes.

Corrigé

Dans une urne, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
Ici, il n'y a que deux couleurs possibles : vert ou bleu.
La probabilité d'obtenir une boule bleue est donc :
$ P(\text{bleue}) = 1 - P(\text{verte}) $
$ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = $$\mathbf{\dfrac{3}{5}}$.
Puisque l'on remet la boule dans l'urne après chaque tirage (tirage avec remise), la composition de l'urne ne change pas.
Les tirages sont indépendants et les probabilités restent identiques à chaque fois.
Au $7^e$ tirage, la probabilité d'obtenir une boule bleue est toujours de $ \dfrac{3}{5} $ et celle d'obtenir une boule verte est de $ \dfrac{2}{5} $.
Comme $ \dfrac{3}{5} > \dfrac{2}{5} $, il a toujours plus de chances d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte.
Soit $ N $ le nombre total de boules dans l'urne.
On sait que la probabilité d'obtenir une boule verte est $ \dfrac{2}{5} $ et qu'il y a 8 boules vertes.
On a donc l'égalité :
$ \dfrac{8}{N} = \dfrac{2}{5} $
En utilisant le produit en croix, on obtient :
$ 2 \times N = 8 \times 5 = 40 $
D'où :

$ N = \dfrac{40}{2} = $$\mathbf{20}$

Il y a donc 20 boules au total dans l'urne.
Le nombre de boules bleues est :

$ 20 - 8 = $$\mathbf{12}$