[enonce]
Un magazine lycéen mène une enquête auprès de ses abonnés pour connaître leurs rubriques préférées.
Les résultats sont les suivants :

• 45 % des abonnés lisent la rubrique Culture.
• 62 % des abonnés lisent la rubrique Sport.
• 25 % des abonnés lisent les deux rubriques.

On choisit un abonné au hasard. On note $C$ l'événement « l'abonné lit la rubrique Culture » et $S$ l'événement « l'abonné lit la rubrique Sport ».
L'objectif est de calculer plusieurs probabilités associées à ces deux événements.
[/enonce]

[etape]
Parmi les formules suivantes, laquelle permet de calculer $p(C \cup S)$ ?

[qcm]
[option]$p(C) + p(S)$[/option]
[option correct="true"]$p(C) + p(S) - p(C \cap S)$[/option]
[option]$p(C) \times p(S)$[/option]
[option]$p(C \cap S)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule du crible donne la probabilité de l'union en retranchant la probabilité de l'intersection pour ne pas la compter deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$p(C) + p(S)$"]Cette formule n'est valable que pour des événements incompatibles. Ici, certains abonnés lisent les deux rubriques, il faut tenir compte de l'intersection.[/reponse]
[reponse motif="$p(C) \times p(S)$"]Le produit des probabilités ne correspond pas à l'union. Il faut partir d'une somme et corriger le double comptage.[/reponse]
[reponse motif="$p(C \cap S)$"]Non, il s'agit de la probabilité de l'intersection (lire les deux), pas de l'union.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Penser aux abonnés qui lisent les deux rubriques : ils seraient comptés deux fois dans une simple somme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
La probabilité de l'union se calcule avec la formule : $p(C \cup S) = p(C) + p(S) - p(C \cap S)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un abonné pris au hasard lise au moins une des deux rubriques.

[[punion]]

[math id="punion" attendu="0.82"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule du crible :
$p(C \cup S) = 0{,}45 + 0{,}62 - 0{,}25 = 0{,}82$.[/reponse]
[reponse motif="1.07"]Attention, la somme $0{,}45 + 0{,}62 = 1{,}07$ dépasse 1 : une probabilité ne peut pas dépasser 1. Il faut corriger en retranchant l'intersection.[/reponse]
[reponse motif="0.25"]Non, $0{,}25$ est la probabilité de lire les deux. Il faut combiner toutes les données.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre la formule de l'étape précédente avec les trois valeurs de l'énoncé.[/reponse]
[aide essai="2"]« Lire au moins une des deux rubriques » se traduit par $C \cup S$.[/aide]
[aide essai="3"]Partir de $p(C) + p(S)$ puis retrancher la probabilité de l'intersection.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(C \cup S) = 0{,}45 + 0{,}62 - 0{,}25 = 0{,}82$.
La probabilité qu'un abonné lise au moins une des deux rubriques est donc $0{,}82$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un abonné pris au hasard ne lise pas la rubrique Culture.

[[pcbar]]

[math id="pcbar" attendu="0.55"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement « ne pas lire Culture » est l'événement contraire de $C$ : $p(\overline{C}) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$.[/reponse]
[reponse motif="0.45"]Attention, $0{,}45$ est la probabilité de lire Culture. Il faut la probabilité du contraire.[/reponse]
[reponse motif="0.38"]La probabilité recherchée ne dépend pas de la rubrique Sport. Seule la probabilité de lire Culture est utile ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Penser à l'événement contraire : « lire Culture » et « ne pas lire Culture » se partagent la totalité des abonnés.[/reponse]
[aide essai="2"]La somme de la probabilité d'un événement et de son contraire vaut toujours 1.[/aide]
[aide essai="3"]$p(\overline{C}) = 1 - p(C)$.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\overline{C}) = 1 - p(C) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Comment traduire, en termes d'intersection et de contraire, l'événement « l'abonné lit la rubrique Sport mais pas la rubrique Culture » ?

[qcm]
[option]$S \cup \overline{C}$[/option]
[option]$S \cap C$[/option]
[option correct="true"]$S \cap \overline{C}$[/option]
[option]$\overline{S} \cap C$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'événement cherché regroupe les abonnés qui lisent Sport et ne lisent pas Culture : c'est l'intersection de $S$ et de $\overline{C}$.[/reponse]
[reponse motif="$S \cup \overline{C}$"]L'union signifie « lire Sport ou ne pas lire Culture », ce n'est pas ce qui est demandé. Il faut une condition sur les deux rubriques en même temps.[/reponse]
[reponse motif="$S \cap C$"]Cet événement correspond à ceux qui lisent les deux rubriques, pas à ceux qui lisent Sport mais pas Culture.[/reponse]
[reponse motif="$\overline{S} \cap C$"]Les rôles de $S$ et de $C$ sont inversés : ici on veut lire Sport, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]« A mais pas B » se traduit par une intersection entre $A$ et le contraire de $B$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
« Lire Sport mais pas Culture » correspond à $S \cap \overline{C}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un abonné pris au hasard lise la rubrique Sport mais pas la rubrique Culture.

[[pdiff]]

[math id="pdiff" attendu="0.37"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Parmi les lecteurs de Sport, certains lisent aussi Culture. On retire donc cette part :
$p(S \cap \overline{C}) = p(S) - p(S \cap C) = 0{,}62 - 0{,}25 = 0{,}37$.[/reponse]
[reponse motif="0.62"]$0{,}62$ est la probabilité de lire Sport, sans exclure ceux qui lisent aussi Culture. Il faut retirer la part commune.[/reponse]
[reponse motif="0.87"]Cette valeur additionne à tort. Quand on retire une partie d'un ensemble, on effectue une soustraction.[/reponse]
[reponse motif="0.25"]$0{,}25$ correspond aux lecteurs des deux rubriques. C'est justement cette part qu'il faut retrancher, pas obtenir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Partir de la probabilité de lire Sport, puis enlever ceux qui lisent aussi Culture.[/reponse]
[aide essai="2"]Les lecteurs de Sport se partagent en deux : ceux qui lisent aussi Culture, et ceux qui ne la lisent pas.[/aide]
[aide essai="3"]$p(S \cap \overline{C}) = p(S) - p(S \cap C)$.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(S \cap \overline{C}) = p(S) - p(S \cap C) = 0{,}62 - 0{,}25 = 0{,}37$.
Environ 37 % des abonnés lisent la rubrique Sport sans lire la rubrique Culture.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les formules de probabilités : événement contraire, union, intersection et incompatibilité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $A$ un événement tel que $p(A) = 0{,}7$. Quelle est la probabilité de son événement contraire $\overline{A}$ ?
[qcm]
[option]$0{,}7$[/option]
[option correct="true"]$0{,}3$[/option]
[option]$1{,}7$[/option]
[option]$-0{,}7$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après la propriété du cours, $p(\overline{A}) = 1 - p(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
L'événement contraire n'a pas la même probabilité que l'événement de départ. Appliquer la formule $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}7$"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Le calcul correct utilise une soustraction, pas une addition.[/reponse]
[reponse motif="$-0{,}7$"]Non.
Une probabilité ne peut pas être négative. Revoir la formule : $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir la propriété : $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) = 0{,}4$, $p(B) = 0{,}5$ et $p(A \cap B) = 0{,}2$. Calculer $p(A \cup B)$.
[qcm]
[option]$0{,}9$[/option]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$1{,}1$[/option]
[option]$0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique la formule du crible : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}9$"]Non.
Il ne faut pas oublier de soustraire $p(A \cap B)$. Sans cette soustraction, les issues communes à $A$ et $B$ seraient comptées deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}1$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Le signe devant $p(A \cap B)$ est un signe moins, pas un signe plus.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1$"]Non.
Attention à l'ordre des opérations : on ajoute $p(A)$ et $p(B)$, puis on retire $p(A \cap B)$. Pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles tels que $p(A) = 0{,}3$ et $p(B) = 0{,}5$. Calculer $p(A \cup B)$.
[qcm]
[option]$0{,}15$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option correct="true"]$0{,}8$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $A$ et $B$ sont incompatibles, $A \cap B = \varnothing$ et donc $p(A \cap B) = 0$. La formule se simplifie en $p(A \cup B) = p(A) + p(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}15$"]Non.
Il ne s'agit pas de multiplier les deux probabilités. Chercher plutôt à utiliser la formule de l'union dans le cas particulier des événements incompatibles.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
Il ne faut pas soustraire les deux probabilités. L'union correspond à la réunion des issues : une addition est attendue.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Cela reviendrait à affirmer que $A$ et $B$ sont contraires, ce qui n'est pas précisé. Incompatibles ne veut pas dire contraires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles, $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$ (pas besoin de soustraire d'intersection).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) = 0{,}6$, $p(B) = 0{,}4$ et $p(A \cup B) = 0{,}8$. Calculer $p(A \cap B)$.
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}24$[/option]
[option]$1{,}8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On isole $p(A \cap B)$ dans la formule du crible : $p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}8 = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Cela reviendrait à supposer que $A$ et $B$ sont incompatibles, mais on aurait alors $p(A \cup B) = 1$, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}24$"]Non.
Il ne s'agit pas de multiplier $p(A)$ par $p(B)$. Utiliser la formule du crible et isoler $p(A \cap B)$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}8$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. L'erreur vient sans doute d'un signe inversé lors du réarrangement de la formule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réorganiser la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ pour isoler $p(A \cap B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe, la probabilité d'être une fille est $0{,}55$. La probabilité d'aimer les mathématiques est $0{,}7$. La probabilité d'être une fille et d'aimer les mathématiques est $0{,}4$. Quelle est la probabilité d'être une fille ou d'aimer les mathématiques ?
[qcm]
[option]$1{,}65$[/option]
[option correct="true"]$0{,}85$[/option]
[option]$1{,}25$[/option]
[option]$0{,}4$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On note $F$ « être une fille » et $M$ « aimer les maths ». La formule du crible donne $p(F \cup M) = p(F) + p(M) - p(F \cap M) = 0{,}55 + 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}85$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}65$"]Non.
Une probabilité reste inférieure ou égale à $1$. Il manque la soustraction $-\,p(F \cap M)$ dans le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}25$"]Non.
Addition effectuée sans retrancher l'intersection. Sans cette soustraction, on compte deux fois les filles qui aiment les maths.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4$"]Non.
Cette valeur correspond à $p(F \cap M)$, c'est-à-dire « fille et maths », pas « fille ou maths ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le « ou » correspond à l'union. Appliquer la formule du crible : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles tels que $p(A) = 0{,}3$ et $p(B) = 0{,}45$. Quelle est la valeur de $p\left(\overline{A \cup B}\right)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}75$[/option]
[option]$0{,}7$[/option]
[option correct="true"]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}55$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Comme $A$ et $B$ sont incompatibles, $p(A \cup B) = p(A) + p(B) = 0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75$. Puis $p\left(\overline{A \cup B}\right) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
Cette valeur correspond à $p(A \cup B)$ elle-même. L'énoncé demande la probabilité de son contraire : une étape supplémentaire est nécessaire.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
On obtient cette valeur en calculant $1 - p(A)$, ce qui ignore complètement $B$. Le contraire porte sur $A \cup B$, pas sur $A$ seul.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}55$"]Non.
On obtient cette valeur en calculant $1 - p(B)$, ce qui ignore $A$. Commencer par déterminer $p(A \cup B)$ en utilisant l'incompatibilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux étapes : calculer $p(A \cup B)$ grâce à l'incompatibilité, puis passer au contraire avec $1 - p(A \cup B)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]