Le plan ci-dessous représente la pièce principale d'un studio à l'échelle $ \dfrac{1}{100} $.

Sur le plan, la pièce est représentée par un rectangle de longueur $ 4 $ cm et de largeur $ 3 $ cm.

1. Donner la signification de l'échelle $ \dfrac{1}{100} $.
2. Calculer la longueur réelle et la largeur réelle de la pièce, en mètres.
3. En déduire l'aire réelle de la pièce, en mètres carrés.
4. Yasmine souhaite installer un canapé qui mesure $ 1{,}80 $ m de long. Quelle longueur, en cm, ce canapé occupera-t-il sur le plan ?

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les échelles, plans et conversions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, un segment de $1$ cm représente une longueur réelle de $1$ m.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$1$ cm sur le plan correspond à $1 \times 100 = 100$ cm dans la réalité, soit $1$ m. L'échelle $\dfrac{1}{100}$ signifie qu'une unité sur le plan vaut $100$ unités dans la réalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, on multiplie la longueur du plan par $100$ pour obtenir la longueur réelle. $1 \times 100 = 100$ cm $= 1$ m.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. À l'échelle $\dfrac{1}{100}$, $1$ cm sur le plan correspond à $100$ cm $= 1$ m dans la réalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'échelle d'un plan a une unité (par exemple cm/m).

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'échelle est un rapport $\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$ avec les deux distances exprimées dans la même unité. C'est donc un nombre sans unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : pour calculer une échelle, les deux distances doivent être dans la même unité. Le rapport obtenu est donc un nombre sans dimension.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'échelle est un rapport sans unité, les deux distances étant dans la même unité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{200\,000}$, un segment de $5$ cm représente une distance réelle de $5$ km.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La distance réelle vaut $5 \times 200\,000 = 1\,000\,000$ cm. On convertit : $1\,000\,000$ cm $= 10$ km, et non $5$ km.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Refaire le calcul : $5 \times 200\,000 = 1\,000\,000$ cm. Convertir ensuite en km en divisant par $100\,000$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La distance réelle vaut $5 \times 200\,000$ cm $= 10$ km.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une échelle plus grande que $1$ correspond à un agrandissement.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si l'échelle vaut $\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}} > 1$, alors la distance sur le plan est plus grande que la distance réelle : c'est bien un agrandissement (par exemple, une photo prise au microscope).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si la distance sur le plan dépasse la distance réelle, l'échelle est plus grande que $1$ et il s'agit d'un agrandissement. Si l'échelle est de la forme $\dfrac{1}{n}$ avec $n > 1$, c'est une réduction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une échelle supérieure à $1$ signifie que le plan est plus grand que la réalité (agrandissement).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer l'échelle d'une carte, on peut directement diviser une distance en cm par une distance en km.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les deux distances doivent être dans la même unité avant de calculer le rapport. Sinon, le résultat n'a pas de sens. Il faut donc convertir les km en cm (ou inversement) avant de diviser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : sans conversion préalable, le rapport est faussé d'un facteur $100\,000$. La règle est de toujours exprimer les deux distances dans la même unité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les deux distances doivent être dans la même unité avant de calculer l'échelle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{500}$, une longueur réelle de $20$ m est représentée par un segment de $4$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On convertit : $20$ m $= 2\,000$ cm. La longueur sur le plan vaut $\dfrac{2\,000}{500} = 4$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reprendre les calculs : convertir $20$ m en cm ($2\,000$ cm), puis diviser par le dénominateur de l'échelle ($500$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $20$ m $= 2\,000$ cm, et $\dfrac{2\,000}{500} = 4$ cm.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les échelles : calculer une distance réelle, une distance sur le plan, déterminer une échelle, distinguer agrandissement et réduction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, une pièce mesure $5$ cm. Quelle est sa longueur réelle ?
[qcm]
[option]$5$ m[/option]
[option correct="true"]$10$ m[/option]
[option]$1\,000$ m[/option]
[option]$0{,}025$ m[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La longueur réelle vaut $5 \times 200 = 1\,000$ cm. On convertit : $1\,000$ cm $= 10$ m.[/reponse]
[reponse motif="$5$ m"]Non.
La valeur du plan a été convertie de cm en m sans tenir compte de l'échelle. Il faut multiplier par $200$ avant la conversion.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$ m"]Non.
La multiplication par $200$ est correcte mais la conversion finale a été oubliée : $1\,000$ cm vaut $10$ m, pas $1\,000$ m.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}025$ m"]Non.
$0{,}025 = \dfrac{5}{200}$ : la division par $200$ a été utilisée à la place de la multiplication. Sur un plan, la distance réelle est plus grande que la distance sur le plan.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier la distance sur le plan par le dénominateur de l'échelle, puis convertir en mètres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une carte est à l'échelle $\dfrac{1}{50\,000}$. La distance entre deux villages mesure $3$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle entre ces deux villages ?
[qcm]
[option]$150$ m[/option]
[option correct="true"]$1{,}5$ km[/option]
[option]$15$ km[/option]
[option]$0{,}06$ km[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La distance réelle vaut $3 \times 50\,000 = 150\,000$ cm. On convertit : $150\,000$ cm $= 1\,500$ m $= 1{,}5$ km.[/reponse]
[reponse motif="$150$ m"]Non.
La conversion finale est partielle : $150\,000$ cm vaut $1\,500$ m, pas $150$ m. Reprendre la conversion.[/reponse]
[reponse motif="$15$ km"]Non.
La conversion entre cm et km a sauté un facteur $10$. Pour passer des cm aux km, diviser par $100\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}06$ km"]Non.
$0{,}06 = \dfrac{3}{50\,000}$ : la division par $50\,000$ a été appliquée. Sur une carte, la distance réelle est obtenue par multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier la distance sur la carte par $50\,000$ pour obtenir la distance réelle en cm, puis convertir en km.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur un plan, une longueur réelle de $6$ m est représentée par un segment de $3$ cm. Quelle est l'échelle du plan ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{200}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{600}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{50}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On convertit dans la même unité : $6$ m $= 600$ cm. L'échelle vaut $\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}} = \dfrac{3}{600} = \dfrac{1}{200}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ : les deux distances ont été comparées sans les exprimer dans la même unité. Convertir d'abord les mètres en centimètres.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{600}$"]Non.
Le numérateur a été oublié dans la simplification : $\dfrac{3}{600}$ se simplifie en $\dfrac{1}{200}$, pas $\dfrac{1}{600}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{50}$"]Non.
$\dfrac{1}{50}$ correspond à $\dfrac{6}{300}$ ou un calcul approximatif. Reprendre $\dfrac{3}{600}$ et simplifier correctement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'échelle est le rapport $\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$, les deux étant dans la même unité. Convertir d'abord en cm.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On souhaite représenter une route longue de $8$ km sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{40\,000}$. Quelle longueur en cm doit avoir le segment sur le plan ?
[qcm]
[option]$5$ cm[/option]
[option correct="true"]$20$ cm[/option]
[option]$200$ cm[/option]
[option]$0{,}2$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On convertit la distance réelle : $8$ km $= 800\,000$ cm. La longueur sur le plan vaut $\dfrac{800\,000}{40\,000} = 20$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$5$ cm"]Non.
$5 = \dfrac{200\,000}{40\,000}$ correspond à $2$ km, pas à $8$ km. Vérifier la conversion de $8$ km en cm.[/reponse]
[reponse motif="$200$ cm"]Non.
$200 = \dfrac{8\,000\,000}{40\,000}$ : il y a eu une erreur de conversion ($8$ km vaut $800\,000$ cm, pas $8\,000\,000$).[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$ cm"]Non.
$0{,}2 = \dfrac{8}{40}$ : les unités n'ont pas été harmonisées. $8$ km doit d'abord être converti en cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir d'abord la distance réelle dans la même unité que la distance sur le plan (cm), puis diviser par le dénominateur de l'échelle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une cellule observée au microscope a un diamètre de $0{,}05$ mm. Sur la photo, son diamètre mesure $5$ cm. Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$, c'est une réduction.[/option]
[option]La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$, c'est un agrandissement.[/option]
[option correct="true"]La photo est à l'échelle $1\,000$, c'est un agrandissement.[/option]
[option]La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, c'est un agrandissement.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Conversion : $0{,}05$ mm $= 0{,}005$ cm. L'échelle vaut $\dfrac{5}{0{,}005} = 1\,000$. Comme la photo est plus grande que la réalité, c'est un agrandissement.[/reponse]
[reponse motif="La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$, c'est une réduction."]Non.
Le rapport a été inversé. La distance sur la photo ($5$ cm) est plus grande que la taille réelle ($0{,}005$ cm) : c'est un agrandissement, pas une réduction.[/reponse]
[reponse motif="La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$, c'est un agrandissement."]Non.
Une échelle de la forme $\dfrac{1}{n}$ avec $n > 1$ correspond toujours à une réduction. Pour un agrandissement, l'échelle est plus grande que $1$.[/reponse]
[reponse motif="La photo est à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, c'est un agrandissement."]Non.
La conversion $0{,}05$ mm en cm semble incorrecte. $0{,}05$ mm $= 0{,}005$ cm (et non $0{,}05$ cm).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir les deux longueurs dans la même unité, calculer le rapport plan/réel et observer si la photo est plus grande (agrandissement) ou plus petite (réduction) que la réalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, une rivière mesure $12$ cm. Quelle est sa longueur réelle ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$ km[/option]
[option]$30$ km[/option]
[option]$300$ m[/option]
[option]$2\,083$ km[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La longueur réelle vaut $12 \times 25\,000 = 300\,000$ cm. Conversion : $300\,000$ cm $= 3\,000$ m $= 3$ km.[/reponse]
[reponse motif="$30$ km"]Non.
La conversion entre cm et km a sauté un facteur $10$. $300\,000$ cm vaut $3$ km, pas $30$ km.[/reponse]
[reponse motif="$300$ m"]Non.
La conversion finale est trop courte : $300\,000$ cm vaut $3\,000$ m, pas $300$ m. Vérifier le passage cm $\rightarrow$ m.[/reponse]
[reponse motif="$2\,083$ km"]Non.
$2\,083 \approx \dfrac{25\,000}{12}$ : les nombres ont été divisés à l'envers. La distance réelle s'obtient par multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier $12$ par $25\,000$ pour obtenir la longueur réelle en cm, puis convertir en km.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]