Programmes de calcul et distributivité
On considère le programme de calcul suivant :
Programme A
- Choisir un nombre.
- Lui ajouter $ 4 $.
- Multiplier le résultat par $ 5 $.
- Soustraire $ 20 $ au résultat.
- Appliquer le programme A au nombre $ 3 $, en écrivant le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses, puis donner le résultat final.
- Appliquer le programme A au nombre $ 7 $, en utilisant la même présentation.
Anaïs affirme : « Quel que soit le nombre choisi, le résultat final est toujours égal à $ 5 $ fois le nombre choisi. »
- Vérifier cette affirmation pour les deux nombres précédents.
- Justifier cette affirmation à l'aide de la distributivité, en notant $ x $ le nombre choisi.
On considère un second programme :
Programme B
- Choisir un nombre.
- Le multiplier par $ 5 $.
- Ajouter $ 1 $ au résultat.
Pour quel nombre choisi les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Justifier.
- On écrit le calcul sur une seule ligne avec des parenthèses :
$ (3 + 4) \times 5 - 20 = 7 \times 5 - 20 = 35 - 20 = \mathbf{15} $
- De même avec le nombre $ 7 $ :
$ (7 + 4) \times 5 - 20 = 11 \times 5 - 20 = 55 - 20 = \mathbf{35} $
- Pour $ 3 $ : $ 5 \times 3 = 15 $, qui est bien le résultat trouvé. Pour $ 7 $ : $ 5 \times 7 = 35 $, qui est aussi le résultat trouvé. L'affirmation est vérifiée dans les deux cas.
- En notant $ x $ le nombre choisi, le programme A donne :
$ (x + 4) \times 5 - 20 $
On utilise la distributivité :
$ (x + 4) \times 5 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20 $
Donc le résultat final s'écrit :
$ 5x + 20 - 20 = \mathbf{5x} $
Le résultat est bien égal à $ 5 $ fois le nombre choisi, quel que soit ce nombre.
- Pour le programme B, le résultat avec un nombre $ x $ est $ 5x + 1 $. Pour le programme A, le résultat est $ 5x $. Or, pour tout nombre $ x $ :
$ 5x + 1 \ne 5x $
Les deux programmes ne donnent jamais le même résultat : leurs résultats diffèrent toujours de $ 1 $.
→ Pour réviser : Utiliser la distributivité pour calculer mentalement
Vrai/Faux : Distributivité et factorisation
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la distributivité et la factorisation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$, l'égalité $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ est vraie.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition. Le facteur $k$ se distribue sur chacun des termes de la parenthèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la distributivité s'écrit $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$. C'est une propriété fondamentale du calcul.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $7 \times (10 + 3) = 7 \times 10 + 3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le facteur $7$ doit être distribué sur les deux termes : $7 \times (10 + 3) = 7 \times 10 + 7 \times 3 = 70 + 21 = 91$. L'expression de droite vaut $73$, ce qui est différent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : oublier de distribuer le facteur $7$ sur le second terme. La distributivité multiplie $k$ par chaque terme de la parenthèse, pas seulement le premier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écriture correcte est $7 \times (10 + 3) = 7 \times 10 + 7 \times 3 = 91$. L'expression de droite vaut $73$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $5 \times 8 + 5 \times 12 = 5 \times (8 + 12)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le facteur commun aux deux produits est $5$. On peut donc le mettre en facteur de la somme : $5 \times 8 + 5 \times 12 = 5 \times (8 + 12) = 5 \times 20 = 100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la factorisation consiste à mettre en évidence un facteur commun. Ici, $5$ apparaît dans les deux produits : on peut donc l'écrire en facteur de la parenthèse $(8 + 12)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la factorisation par le facteur commun $5$. Les deux écritures donnent bien le même résultat $100$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $4 \times (9 - 6) = 4 \times 9 - 6$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La distributivité s'applique aussi à la soustraction : $4 \times (9 - 6) = 4 \times 9 - 4 \times 6 = 36 - 24 = 12$. L'expression de droite vaut $36 - 6 = 30$, ce qui est différent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : oublier de multiplier le second terme. La distributivité dit $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$ : le facteur $k$ multiplie les deux termes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écriture correcte est $4 \times (9 - 6) = 4 \times 9 - 4 \times 6 = 12$, et non $30$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour calculer $7 \times 99$ mentalement, on peut écrire $7 \times 99 = 7 \times 100 - 7 \times 1 = 693$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La décomposition $99 = 100 - 1$ permet d'utiliser la distributivité : $7 \times 99 = 7 \times (100 - 1) = 7 \times 100 - 7 \times 1 = 700 - 7 = 693$. C'est la technique classique du calcul mental.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : décomposer un facteur en somme ou en différence de nombres simples permet d'utiliser la distributivité pour calculer mentalement. Ici, $99 = 100 - 1$ donne bien $700 - 7 = 693$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En décomposant $99 = 100 - 1$, on transforme un produit difficile en deux produits faciles : $700 - 7 = 693$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $(3 + 4) \times (5 + 2) = 3 + 4 \times 5 + 2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule chaque parenthèse, puis le produit : $(3 + 4) \times (5 + 2) = 7 \times 7 = 49$. L'expression de droite, en respectant les priorités, vaut $3 + 20 + 2 = 25$, ce qui est très différent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : retirer les parenthèses sans précaution change complètement le sens du calcul. Les parenthèses regroupent les termes que la multiplication doit relier ensemble.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $(3 + 4) \times (5 + 2) = 7 \times 7 = 49$, alors que $3 + 4 \times 5 + 2 = 25$. Les parenthèses sont indispensables.
[/solution]
[/etape]
QCM : Distributivité et calcul mental
[enonce]
Ce QCM porte sur la distributivité simple et son utilisation pour le calcul mental. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Calculer $5 \times (8 + 4)$ en utilisant la distributivité.
[qcm]
[option]$44$[/option]
[option correct="true"]$60$[/option]
[option]$17$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On distribue le facteur $5$ sur les deux termes : $5 \times (8 + 4) = 5 \times 8 + 5 \times 4 = 40 + 20 = 60$.[/reponse]
[reponse motif="$44$"]Non.
Le facteur $5$ n'a été distribué qu'une fois, sur le $8$. Le calcul effectué semble être $5 \times 8 + 4 = 44$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
Le calcul effectué semble être $5 + 8 + 4 = 17$ : aucune multiplication n'a été faite.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
Seule la première multiplication $5 \times 8 = 40$ a été effectuée. Le terme $5 \times 4$ manque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le facteur sur chacun des deux termes de la parenthèse, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer mentalement $7 \times 102$ en utilisant la distributivité.
[qcm]
[option correct="true"]$714$[/option]
[option]$702$[/option]
[option]$700$[/option]
[option]$709$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On décompose $102 = 100 + 2$, puis on distribue : $7 \times 102 = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 700 + 14 = 714$.[/reponse]
[reponse motif="$702$"]Non.
Le facteur $7$ n'a été distribué que sur le $100$. Le terme $2$ doit aussi être multiplié par $7$.[/reponse]
[reponse motif="$700$"]Non.
Seul le produit $7 \times 100$ a été calculé. Le terme correspondant à $7 \times 2$ manque.[/reponse]
[reponse motif="$709$"]Non.
La distribution a bien été faite, mais le calcul $7 \times 2$ a été remplacé par $9$. Vérifier ce produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $102$ en $100 + 2$, puis distribuer le facteur $7$ sur chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer mentalement $9 \times 99$ en utilisant la distributivité.
[qcm]
[option]$909$[/option]
[option]$900$[/option]
[option correct="true"]$891$[/option]
[option]$99$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On décompose $99 = 100 - 1$, puis on distribue : $9 \times 99 = 9 \times 100 - 9 \times 1 = 900 - 9 = 891$.[/reponse]
[reponse motif="$909$"]Non.
Le signe entre les deux produits a été inversé. Quand on décompose $99 = 100 - 1$, on doit soustraire $9 \times 1$, pas l'ajouter.[/reponse]
[reponse motif="$900$"]Non.
Seul le produit $9 \times 100$ a été calculé. Il faut encore retirer $9 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$99$"]Non.
Le facteur $9$ n'a pas été pris en compte : le résultat affiché est juste $99$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $99$ en $100 - 1$, puis distribuer le $9$ sur chaque terme en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer $7 \times 23 + 7 \times 17$ en utilisant la distributivité.
[qcm]
[option]$40$[/option]
[option]$161$[/option]
[option correct="true"]$280$[/option]
[option]$2737$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On factorise par le facteur commun $7$ : $7 \times 23 + 7 \times 17 = 7 \times (23 + 17) = 7 \times 40 = 280$.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
Seule la somme $23 + 17 = 40$ a été calculée. La multiplication par le facteur commun $7$ a été oubliée.[/reponse]
[reponse motif="$161$"]Non.
Seul le premier produit $7 \times 23 = 161$ a été calculé. Le second terme $7 \times 17$ a été oublié.[/reponse]
[reponse motif="$2737$"]Non.
À l'intérieur de la parenthèse, $23$ et $17$ ont été multipliés au lieu d'être additionnés : on obtient alors $7 \times (23 \times 17) = 2737$. Après mise en facteur, il faut additionner : $7 \times (23 + 17) = 7 \times 40 = 280$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer le facteur commun aux deux produits, puis le mettre en facteur de la somme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer mentalement $13 \times 50$ en décomposant $13$ en $10 + 3$.
[qcm]
[option]$503$[/option]
[option]$530$[/option]
[option correct="true"]$650$[/option]
[option]$1500$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On décompose $13 = 10 + 3$, puis on distribue : $13 \times 50 = (10 + 3) \times 50 = 10 \times 50 + 3 \times 50 = 500 + 150 = 650$.[/reponse]
[reponse motif="$503$"]Non.
Le second produit a été remplacé par $3$ au lieu de $3 \times 50$. Tous les termes doivent être multipliés par $50$.[/reponse]
[reponse motif="$530$"]Non.
Le second terme a été multiplié par $10$ au lieu de $50$. Quand on décompose $13$, c'est le facteur $50$ qui se distribue sur les deux nouveaux termes.[/reponse]
[reponse motif="$1500$"]Non.
Cette valeur correspond à $30 \times 50$ ou à $13 \times 100$. Vérifier le facteur multiplié et le résultat de la décomposition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le facteur $50$ sur chacun des deux termes de la décomposition, puis additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$, à quelle expression est égale $k \times (a - b)$ ?
[qcm]
[option]$k \times a + k \times b$[/option]
[option correct="true"]$k \times a - k \times b$[/option]
[option]$k \times a - b$[/option]
[option]$(k - a) \times (k - b)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La distributivité de la multiplication sur la soustraction donne $k \times (a - b) = k \times a - k \times b$. Le facteur $k$ est distribué sur chacun des deux termes en conservant le signe $-$.[/reponse]
[reponse motif="$k \times a + k \times b$"]Non.
Le signe $-$ entre $a$ et $b$ doit être conservé après distribution. Cette formule correspond au cas $k \times (a + b)$.[/reponse]
[reponse motif="$k \times a - b$"]Non.
Le facteur $k$ doit être distribué sur les deux termes : il manque la multiplication par $k$ sur le terme $b$.[/reponse]
[reponse motif="$(k - a) \times (k - b)$"]Non.
La distributivité ne consiste pas à dupliquer le facteur $k$. Elle distribue $k$ comme facteur sur chacun des termes de la parenthèse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le facteur $k$ sur chacun des deux termes en conservant le signe entre eux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
