Diagonales perpendiculaires d’un cerf-volant

$ABCD$ est un quadrilatère tel que $AB = AD$ et $CB = CD$. Sa forme évoque un cerf-volant. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent au point $M$.

Cerf-volant ABCD avec ses diagonales se coupant au point M

Démontrer que les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux.
En déduire que la droite $(AC)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$.
Démontrer que les triangles $ABM$ et $ADM$ sont égaux.
En déduire que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

Corrigé

On compare les triangles $ABC$ et $ADC$ :
- $AB = AD$ (donné par l'énoncé).
- $CB = CD$ (donné par l'énoncé).
- $AC = AC$ (côté commun aux deux triangles).
Les trois côtés sont deux à deux de même longueur. D'après le cas CCC, les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux.
Deux triangles égaux ont leurs angles deux à deux de même mesure. En particulier, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DAC}$ sont de même mesure.
La droite $(AC)$ partage donc l'angle $\widehat{BAD}$ en deux angles de même mesure : c'est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$.
On compare les triangles $ABM$ et $ADM$ :
- $AB = AD$ (donné par l'énoncé).
- $\widehat{BAM} = \widehat{DAM}$ : c'est la conclusion de la question 2, car $M$ appartient à $(AC)$.
- $AM = AM$ (côté commun aux deux triangles).
L'angle est compris entre les deux côtés de même longueur dans chaque triangle. D'après le cas CAC, les triangles $ABM$ et $ADM$ sont égaux.
Les triangles $ABM$ et $ADM$ étant égaux, leurs angles correspondants sont de même mesure. En particulier :
$\widehat{AMB} = \widehat{AMD}$.
Or les points $B$, $M$ et $D$ sont alignés (sur la diagonale $[BD]$), donc les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AMD}$ sont supplémentaires :
$\widehat{AMB} + \widehat{AMD} = 180^{\circ}$.
Comme ces deux angles sont égaux :
$2 \times \widehat{AMB} = 180^{\circ}$, donc $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$.
Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont donc perpendiculaires.

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont égaux.

Bissectrice d’un angle et égalité de longueurs

$xOy$ est un angle saillant. La demi-droite $[Oz)$ est la bissectrice de cet angle. Sur la demi-droite $[Ox)$, on place le point $A$ et sur la demi-droite $[Oy)$, on place le point $B$ tels que $OA = OB$. Le point $M$ est un point quelconque de la bissectrice $[Oz)$, distinct de $O$.

Angle xOy avec sa bissectrice Oz, points A sur Ox, B sur Oy tels que OA = OB, et M sur la bissectrice

Justifier que $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.
Démontrer que les triangles $OAM$ et $OBM$ sont égaux.
En déduire que $MA = MB$.
Démontrer que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

Corrigé

La demi-droite $[Oz)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$ : elle partage cet angle en deux angles de même mesure.
Comme $A$ est sur $[Ox)$, $B$ est sur $[Oy)$ et $M$ est sur $[Oz)$, on a bien $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.
On compare les triangles $OAM$ et $OBM$ :
- $OA = OB$ (donné par l'énoncé).
- $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (question 1).
- $OM = OM$ (côté commun aux deux triangles).
L'angle $\widehat{AOM}$ est compris entre les côtés $[OA]$ et $[OM]$ ; l'angle $\widehat{BOM}$ est compris entre les côtés $[OB]$ et $[OM]$. D'après le cas CAC, les triangles $OAM$ et $OBM$ sont égaux.
Deux triangles égaux ont leurs côtés deux à deux de même longueur. Comme $OAM$ et $OBM$ sont égaux, on a en particulier :

$MA = MB$.
D'après l'énoncé, $OA = OB$ : le point $O$ est équidistant des extrémités du segment $[AB]$.
La question 3 donne $MA = MB$ : le point $M$ est lui aussi équidistant de $A$ et de $B$.
Or tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice. Les points $O$ et $M$ appartiennent donc tous les deux à la médiatrice de $[AB]$ : la droite $(OM)$ est la médiatrice de $[AB]$.

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont égaux.

Vrai/Faux : Démonstrations avec les cas d’égalité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur l'utilisation des cas d'égalité dans une démonstration, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer une égalité d'angles, on peut prouver d'abord que les triangles qui contiennent ces angles sont égaux, puis en déduire l'égalité des angles correspondants.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la stratégie classique d'utilisation des cas d'égalité.
Étape 1 : démontrer que deux triangles sont égaux (à l'aide de CCC, CAC ou ACA).
Étape 2 : en déduire que toutes leurs mesures correspondantes (longueurs ou angles) sont égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est la méthode standard pour démontrer une égalité d'angles ou de longueurs en 4e.
On prouve d'abord l'égalité de deux triangles avec un cas (CCC, CAC ou ACA), puis on déduit l'égalité des éléments correspondants.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la méthode usuelle : prouver l'égalité de deux triangles, puis déduire l'égalité des longueurs ou angles correspondants.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$, et $M$ est le milieu de $[BC]$.

Affirmation : Les triangles $ABM$ et $ACM$ sont égaux d'après le cas CCC.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $AB = AC$ (triangle isocèle en $A$), $BM = CM$ ($M$ est le milieu de $[BC]$) et $AM = AM$ (côté commun).
Les trois paires de côtés sont égales : c'est le cas CCC.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Liste les éléments connus : $AB = AC$ (isocèle), $BM = CM$ (milieu) et $AM$ commun.
Ces trois paires de côtés égales correspondent au cas CCC.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $AB = AC$ (isocèle), $BM = CM$ (milieu), $AM$ commun : trois paires de côtés égales, donc cas CCC.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$O$ est un point sur la médiatrice de $[AB]$. On considère les triangles $OAH$ et $OBH$, où $H$ est le pied de la médiatrice ($H$ est le milieu de $[AB]$ et $(OH) \perp (AB)$).

Affirmation : Les triangles $OAH$ et $OBH$ sont égaux d'après le cas CCC.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On connaît $AH = BH$ ($H$ est le milieu de $[AB]$) et $OH = OH$ (côté commun), mais pas la troisième paire de côtés ($OA$ et $OB$).
En revanche l'angle en $H$ vaut $90^{\circ}$ dans les deux triangles : il est compris entre $[HA]$ et $[HO]$. C'est donc le cas CAC, pas CCC.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Identifie chaque élément : $AH = BH$ (milieu) et $OH$ commun, mais la longueur $OA$ (ou $OB$) n'est pas donnée : on n'a pas trois paires de côtés.
L'angle droit en $H$ est compris entre les deux côtés connus : le bon cas est CAC, et non CCC.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On ne connaît que deux paires de côtés ($AH = BH$ et $OH$ commun) ; c'est l'angle droit en $H$, compris entre eux, qui permet de conclure par le cas CAC (et non CCC).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer que deux longueurs sont égales, il faut toujours utiliser le cas d'égalité CCC.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Au contraire : si on cherche à démontrer une égalité de longueurs, on évite le cas CCC, qui suppose déjà que les trois côtés sont connus.
On utilise plutôt CAC ou ACA pour démontrer l'égalité des triangles, puis on en déduit l'égalité de la longueur cherchée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Réfléchis : si on connaît déjà les trois côtés (cas CCC), on n'a plus rien à démontrer sur les longueurs.
Pour démontrer qu'une longueur inconnue est égale à une autre, on utilise CAC ou ACA, qui partent de moins d'informations.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On utilise plutôt CAC ou ACA pour démontrer une égalité de longueurs, car CCC suppose déjà ces longueurs connues.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un parallélogramme et $O$ est le point d'intersection de ses diagonales.

Parallélogramme ABCD avec ses deux diagonales se coupant en O

Affirmation : Les triangles $OAB$ et $OCD$ sont égaux, et on peut le prouver avec le cas ACA.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$AB = CD$ car les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.
$(AB) \parallel (CD)$, donc $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ et $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (angles alternes-internes).
On a un côté ($AB = CD$) et les deux angles à ses extrémités égaux : c'est le cas ACA.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Identifie chaque élément.
Côté égal : $AB = CD$ (côtés opposés d'un parallélogramme).
Angles aux extrémités de $[AB]$ et $[CD]$ : ils sont alternes-internes car $(AB) \parallel (CD)$.
On a bien un côté et les deux angles adjacents : cas ACA.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $AB = CD$ et les deux angles à leurs extrémités sont alternes-internes : on applique le cas ACA.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux triangles ont des aires égales, alors ils sont égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avoir la même aire n'impose ni les mêmes longueurs ni les mêmes angles.
Par exemple, un triangle de base $4$ et hauteur $3$ a une aire de $6$, comme un triangle de base $6$ et hauteur $2$ ; ces deux triangles ne sont absolument pas égaux.
L'égalité des triangles se prouve via les cas CCC, CAC ou ACA.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire qu'une seule grandeur égale (ici l'aire) suffit.
Or l'aire ne fixe ni la forme ni les longueurs : deux triangles très différents peuvent avoir la même aire.
Seuls CCC, CAC et ACA permettent de conclure à l'égalité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux triangles d'aires égales peuvent avoir des formes très différentes ; l'égalité ne se prouve qu'avec CCC, CAC ou ACA.
[/solution]
[/etape]