[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les cas d'égalité des triangles, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux triangles ont leurs trois côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont égaux.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement le 1er cas d'égalité (CCC) : trois paires de côtés égaux suffisent à garantir l'égalité des triangles. Cela vient du fait que trois longueurs déterminent entièrement la forme et la taille d'un triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est le 1er cas d'égalité (CCC).
Trois côtés deux à deux égaux suffisent ; il n'est pas nécessaire de connaître les angles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le cas d'égalité CCC.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux triangles ont la même aire, alors ils sont égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux triangles peuvent avoir la même aire sans être superposables. Par exemple, un triangle équilatéral de côté $4$ cm et un triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4{,}62$ cm peuvent avoir la même aire mais des formes très différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'aire ne caractérise pas la forme d'un triangle.
Beaucoup de triangles différents partagent la même aire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux triangles d'aires égales peuvent avoir des formes très différentes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux triangles ont deux côtés deux à deux de même longueur et un angle de même mesure, alors ils sont égaux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour pouvoir conclure (cas CAC), l'angle commun doit être compris entre les deux côtés égaux. Si l'angle n'est pas entre les deux côtés (cas dit « CCA »), il peut exister deux triangles non superposables vérifiant ces conditions. La position de l'angle est essentielle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la position de l'angle : pour le cas CAC, l'angle doit être compris entre les deux côtés.
Sinon, on peut construire deux triangles différents avec ces données.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour le cas CAC, l'angle doit être compris entre les deux côtés ; sinon l'affirmation n'est pas garantie.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La définition même de deux triangles égaux est qu'ils sont superposables : tous leurs côtés et tous leurs angles sont deux à deux égaux. C'est une conséquence directe de la définition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « égaux » signifie superposables.
Tous les éléments correspondants (côtés et angles) ont nécessairement la même mesure.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une conséquence directe de la définition de l'égalité de triangles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer que deux triangles sont égaux, il suffit de vérifier qu'ils ont deux paires d'angles de même mesure.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux paires d'angles égales déterminent la forme du triangle (le troisième angle est imposé), mais pas sa taille. Par exemple, deux triangles équilatéraux de côtés $3$ cm et $5$ cm ont les mêmes angles ($60°$ partout) mais ne sont pas égaux. Il faut au moins une longueur de côté pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier que les angles ne fixent que la forme, pas la taille.
Tous les cas d'égalité (CCC, CAC, ACA) impliquent au moins une longueur de côté.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux triangles ayant les mêmes angles peuvent avoir des tailles différentes ; un côté égal est nécessaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme et $O$ est le point d'intersection de ses diagonales.

Affirmation : Les triangles $OAB$ et $OCD$ sont toujours égaux.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans un parallélogramme, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur. Les angles $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ et $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ sont alternes-internes (formés par les parallèles $(AB)$ et $(CD)$ avec les diagonales). Le côté $AB = CD$ encadré par deux paires d'angles égaux donne le cas ACA : les triangles $OAB$ et $OCD$ sont égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Cela permet d'utiliser les angles alternes-internes pour appliquer le cas ACA.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $AB = CD$ et les angles alternes-internes égaux, le cas ACA permet de conclure.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les cas d'égalité des triangles (CCC, CAC, ACA). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Que signifie l'égalité « les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux » ?
[qcm]
[option]Ils ont la même aire.[/option]
[option]Ils ont le même périmètre.[/option]
[option correct="true"]Leurs côtés sont deux à deux de même longueur et leurs angles deux à deux de même mesure.[/option]
[option]Ils ont au moins un côté en commun.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux triangles sont égaux (ou superposables) lorsque leurs trois côtés sont deux à deux de même longueur et leurs trois angles sont deux à deux de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="Ils ont la même aire."]Non.
Deux triangles très différents peuvent avoir la même aire sans être égaux.
L'égalité de triangles concerne tous les côtés et tous les angles.[/reponse]
[reponse motif="Ils ont le même périmètre."]Non.
Deux triangles peuvent avoir le même périmètre sans être superposables (par exemple un triangle équilatéral et un triangle isocèle aplati).[/reponse]
[reponse motif="Ils ont au moins un côté en commun."]Non.
Avoir un côté commun ne suffit pas, et les triangles peuvent même être disjoints (sans aucun côté en commun).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux triangles égaux ont toutes leurs longueurs de côtés et toutes leurs mesures d'angles deux à deux égales.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans deux triangles $ABC$ et $DEF$, on a $AB = DE = 7$ cm, $BC = EF = 5$ cm et $AC = DF = 4$ cm. Quel cas d'égalité permet de conclure ?
[qcm]
[option correct="true"]CCC (3 côtés)[/option]
[option]CAC (2 côtés et l'angle entre eux)[/option]
[option]ACA (1 côté et 2 angles)[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître au moins un angle.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On dispose des trois paires de côtés deux à deux égaux : c'est exactement le 1er cas d'égalité (CCC). Les triangles sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="CAC (2 côtés et l'angle entre eux)"]Non.
Aucun angle n'est mentionné dans les données.
On a uniquement les longueurs des trois côtés.[/reponse]
[reponse motif="ACA (1 côté et 2 angles)"]Non.
On ne donne aucun angle dans les hypothèses.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître au moins un angle."]Non.
Trois côtés deux à deux égaux suffisent à déterminer entièrement la forme du triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte combien de côtés et combien d'angles sont fournis dans les hypothèses.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans deux triangles $ABC$ et $DEF$, on a $AB = DE$, $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$ et $AC = DF$. Quel cas d'égalité permet de conclure ?
[qcm]
[option]CCC[/option]
[option correct="true"]CAC[/option]
[option]ACA[/option]
[option]On ne peut pas conclure.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On dispose de deux paires de côtés ($AB = DE$ et $AC = DF$) et de l'angle compris entre ces deux côtés ($\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$, en $A$ et en $D$). C'est le cas CAC.[/reponse]
[reponse motif="CCC"]Non.
On ne donne pas la troisième paire de côtés ($BC$ et $EF$).
On a deux côtés et un angle.[/reponse]
[reponse motif="ACA"]Non.
On ne donne qu'un seul angle, pas deux.
ACA fournit un côté et les deux angles à ses extrémités.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure."]Non.
Les données respectent un cas d'égalité standard.
Vérifie que l'angle $\widehat{BAC}$ est bien entre les deux côtés $AB$ et $AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifie quels éléments sont fournis (côtés, angles) et leur position dans le triangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans deux triangles $ABC$ et $DEF$, on a $BC = EF$, $\widehat{ABC} = \widehat{DEF}$ et $\widehat{ACB} = \widehat{DFE}$. Quel cas d'égalité s'applique ?
[qcm]
[option]CCC[/option]
[option]CAC[/option]
[option correct="true"]ACA[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans une longueur supplémentaire.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a un côté ($BC = EF$) et les deux angles aux extrémités de ce côté ($\widehat{ABC}$ en $B$ et $\widehat{ACB}$ en $C$, qui correspondent à $\widehat{DEF}$ et $\widehat{DFE}$). C'est le cas ACA.[/reponse]
[reponse motif="CCC"]Non.
On ne donne qu'une seule paire de côtés égaux.
Les autres données sont des angles.[/reponse]
[reponse motif="CAC"]Non.
On ne donne pas deux côtés mais un seul.
On donne aussi deux angles.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans une longueur supplémentaire."]Non.
Un côté et les deux angles à ses extrémités suffisent à déterminer un triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte combien de côtés et combien d'angles sont fournis, et identifie leur position.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux, avec la correspondance $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Si $AB = 6$ cm, $\widehat{BAC} = 50°$ et $\widehat{ABC} = 60°$, quelle est la mesure de l'angle $\widehat{DFE}$ ?
[qcm]
[option]$50°$[/option]
[option]$60°$[/option]
[option correct="true"]$70°$[/option]
[option]$120°$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le troisième angle du triangle $ABC$ est $\widehat{ACB} = 180° - 50° - 60° = 70°$.
Comme les triangles sont égaux avec la correspondance $C \leftrightarrow F$, l'angle $\widehat{DFE}$ a la même mesure que $\widehat{ACB}$, soit $70°$.[/reponse]
[reponse motif="$50°$"]Non.
$50°$ correspond à $\widehat{BAC}$, donc à $\widehat{EDF}$, pas à $\widehat{DFE}$.
Calcule d'abord le troisième angle de $ABC$.[/reponse]
[reponse motif="$60°$"]Non.
$60°$ correspond à $\widehat{ABC}$, donc à $\widehat{DEF}$, pas à $\widehat{DFE}$.[/reponse]
[reponse motif="$120°$"]Non.
$120°$ semble être une somme partielle.
La somme des angles d'un triangle est $180°$, et il faut soustraire les deux angles connus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le troisième angle du triangle $ABC$ et utilise la correspondance des sommets.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans deux triangles $ABC$ et $DEF$, on sait que $AB = DE$, $AC = DF$ et $\widehat{ABC} = \widehat{DEF}$. Peut-on conclure que les triangles sont égaux ?
[qcm]
[option]Oui, c'est le cas CAC.[/option]
[option]Oui, c'est le cas ACA.[/option]
[option correct="true"]Non, l'angle donné n'est pas compris entre les deux côtés donnés.[/option]
[option]Oui, c'est le cas CCC.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a deux paires de côtés égaux ($AB$ et $AC$) et un angle ($\widehat{ABC}$). Mais cet angle est en $B$, alors que les deux côtés se rejoignent en $A$ : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés. Ce n'est donc pas un cas CAC valable.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est le cas CAC."]Non.
Pour CAC, il faut que l'angle soit compris entre les deux côtés donnés.
Ici, les côtés $AB$ et $AC$ se rejoignent en $A$, mais l'angle donné est en $B$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est le cas ACA."]Non.
On donne deux côtés et un angle, pas un côté et deux angles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, c'est le cas CCC."]Non.
On ne donne pas trois côtés, mais deux côtés et un angle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour appliquer CAC, l'angle doit être compris entre les deux côtés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]