[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : dénombrement à plusieurs épreuves, arbre des possibles, événements contraires et formule du crible. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux résultats « Pile » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'univers contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues équiprobables. Les issues avec exactement deux « Pile » sont $\{PPF ; PFP ; FPP\}$ : il y en a $3$. Donc $p = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{8}$"]Non.
Le numérateur n'est pas $2$ sous prétexte qu'on cherche « deux Pile ». Il faut compter le nombre d'issues de l'univers qui contiennent exactement deux Pile.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Cette valeur correspondrait à la probabilité d'un « Pile » sur un seul lancer. Pour trois lancers, construire l'arbre ou lister les issues de l'univers.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Le dénominateur n'est pas le nombre de lancers. Un univers de $3$ lancers de pièce contient $2 \times 2 \times 2$ issues, pas $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Construire un arbre à trois niveaux, puis compter les chemins contenant exactement deux « Pile ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance une pièce de monnaie équilibrée trois fois. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un résultat « Face » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le contraire de « au moins un Face » est « aucun Face », c'est-à-dire « trois Pile » ($PPP$). Une seule issue sur $8$ réalise cela. Donc $p(\text{au moins un F}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]Non.
Cette valeur correspond à « aucun Face », c'est-à-dire le contraire. Il faut encore passer au complément : $1 - \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
Cette valeur correspond à « exactement un Face ». « Au moins un Face » regroupe aussi les issues avec deux ou trois Faces.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
C'est la probabilité sur un seul lancer. Ici il y a trois lancers, et l'événement « au moins un » est plus probable qu'un demi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le plus simple est de passer par l'événement contraire : « aucun Face » est une seule issue parmi $8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un bleu. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à $7$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{7}{36}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{36}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
L'univers contient $6 \times 6 = 36$ couples équiprobables. Les issues de somme $7$ sont $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$ : il y en a $6$. Donc $p = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{36}$"]Non.
Le numérateur n'est pas la valeur visée par la somme, mais le nombre d'issues favorables. Lister les couples dont la somme vaut $7$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Trop peu d'issues comptabilisées : il y a plus de $3$ couples de somme $7$. Ne pas oublier que $(2\,;\,5)$ et $(5\,;\,2)$ sont deux issues distinctes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{36}$"]Non.
Cela reviendrait à ne compter qu'une seule issue favorable. Plusieurs couples $(a\,;\,b)$ donnent une somme égale à $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister toutes les issues $(a\,;\,b)$ avec $a + b = 7$ parmi les $36$ couples possibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une entreprise, la probabilité qu'un employé tiré au hasard soit cadre vaut $0{,}3$, celle d'être une femme vaut $0{,}55$ et celle d'être une femme cadre vaut $0{,}2$. Quelle est la probabilité qu'un employé tiré soit une femme non cadre ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}35$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}7$[/option]
[option]$0{,}15$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Notons $F$ l'événement « être une femme » et $C$ « être cadre ». L'événement « femme non cadre » est $F \cap \overline{C}$. Les femmes se décomposent en femmes cadres et femmes non cadres : $p(F \cap \overline{C}) = p(F) - p(F \cap C) = 0{,}55 - 0{,}2 = 0{,}35$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
Attention à ne pas confondre les ensembles. Les femmes non cadres sont les femmes auxquelles on retire les femmes cadres.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
Cette valeur correspond à $1 - p(C) = p(\overline{C})$, c'est-à-dire tous les non cadres (hommes inclus). Il faut encore limiter aux femmes.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}15$"]Non.
Le calcul $p(C) - p(F \cap C)$ donnerait les hommes cadres, pas les femmes non cadres. Changer l'événement de base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les femmes se scindent en deux groupes disjoints : cadres et non cadres. Soustraire la probabilité « femme cadre » de la probabilité « femme ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un « $6$ » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{36}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{36}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
L'univers contient $36$ couples équiprobables. Le contraire de « au moins un $6$ » est « aucun $6$ » : chaque dé doit afficher une des $5$ autres faces, soit $5 \times 5 = 25$ issues. Donc $p(\text{au moins un 6}) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
On n'additionne pas simplement les deux probabilités $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}$ : cela compterait deux fois le couple $(6\,;\,6)$. Passer par l'événement contraire est plus sûr.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
Cette valeur correspond à « obtenir un $6$ sur un seul dé ». Ici deux dés sont lancés, et l'événement recherché est plus probable.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{36}$"]Non.
Compter les issues avec au moins un $6$ : bien plus de $2$ couples $(a\,;\,b)$ satisfont cette condition. Le contraire (« aucun $6$ ») est plus simple à dénombrer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Passer par l'événement contraire « aucun $6$ », compter les couples sans $6$, puis appliquer $p(A) = 1 - p(\overline{A})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que le produit des deux faces obtenues soit pair ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{9}{36}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le produit est impair seulement si les deux faces sont impaires. Il y a $3$ faces impaires par dé ($\{1;3;5\}$), donc $3 \times 3 = 9$ issues donnent un produit impair. Les $36 - 9 = 27$ issues restantes donnent un produit pair. D'où $p = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Un nombre sur deux est pair, mais ici il s'agit d'un produit de deux nombres : le produit est pair dès qu'au moins l'un des deux facteurs l'est, ce qui est plus fréquent.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
C'est la probabilité que les deux dés soient pairs ($3 \times 3 / 36 = 9/36$). Or le produit est déjà pair dès qu'un seul des deux facteurs est pair.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{36}$"]Non.
Cette valeur correspond au nombre d'issues où les deux dés sont pairs (ou les deux impairs). Revenir à la règle : un produit est pair sauf si ses deux facteurs sont impairs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le produit est impair si et seulement si les deux facteurs sont impairs. Passer par l'événement contraire pour simplifier le calcul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les probabilités, l'union, l'intersection et les arbres, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tous événements $A$ et $B$ d'un univers $\Omega$, on a $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule générale est $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
L'égalité $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$ n'est valable que lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la formule du crible est $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Le terme $p(A \cap B)$ ne disparaît que si les événements sont incompatibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule générale est $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ ; elle ne se simplifie que lorsque $A \cap B = \varnothing$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $A$ et $B$ sont incompatibles avec $p(A) = 0{,}4$ et $p(B) = 0{,}3$, alors $p(A \cup B) = 0{,}7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Puisque $A$ et $B$ sont incompatibles, $p(A \cap B) = 0$, donc :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lorsque les événements sont incompatibles, la formule du crible se simplifie : $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
Ici, $0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A$ et $B$ étant incompatibles, $p(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $p(A) = 0{,}6$ et $p(B) = 0{,}5$, alors $A$ et $B$ sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si $A$ et $B$ étaient incompatibles, on aurait $p(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 = 1{,}1$, ce qui est impossible (une probabilité est $\leqslant 1$).
Donc $A$ et $B$ ne peuvent pas être incompatibles : ils ont forcément une intersection non vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : lorsque $p(A) + p(B) > 1$, les deux événements ne peuvent pas être incompatibles.
Sinon, on aurait $p(A \cup B) = 1{,}1 > 1$, ce qui est impossible.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $A$ et $B$ étaient incompatibles on aurait $p(A \cup B) = 1{,}1 > 1$, ce qui est impossible : ils ont forcément une partie commune.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée.

Affirmation : La probabilité d'obtenir au moins un Pile est $\dfrac{3}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'univers $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$ contient 4 issues équiprobables.
L'événement contraire « aucun Pile » se limite à $\{FF\}$, de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Donc $p(\text{au moins un Pile}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode efficace : passer par l'événement contraire « aucun Pile » = $\{FF\}$.
On a $p(FF) = \dfrac{1}{4}$, donc $p(\text{au moins un Pile}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par passage au contraire, $p(\text{au moins un Pile}) = 1 - p(FF) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée.

Affirmation : L'univers $\Omega$ de cette expérience contient 6 issues.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque lancer offre 2 résultats possibles (P ou F), donc pour 3 lancers on a $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues équiprobables.
L'arbre des possibles confirme : $\{PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : pour des épreuves successives, on multiplie les nombres de résultats.
Avec 3 lancers, chaque lancer a 2 issues, donc $\Omega$ contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'univers contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues, pas 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $p(A) = 0{,}7$, $p(B) = 0{,}4$ et $p(A \cap B) = 0{,}2$, alors $p(A \cup B) = 0{,}9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On applique directement la formule du crible :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut appliquer la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Ici $0{,}7 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. D'après la formule du crible, $p(A \cup B) = 0{,}7 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}9$.
[/solution]
[/etape]