[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les solides et l'agrandissement-réduction, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère un cube de côté $a$ et un cube dont toutes les dimensions sont doublées (côté $2a$).

Affirmation : Le volume du grand cube est $4$ fois celui du petit cube.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Les longueurs sont multipliées par $k = 2$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = 2^3 = 8$, pas par $4$.
Le volume du grand cube est $8$ fois celui du petit cube.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre l'effet sur les aires et l'effet sur les volumes. Les aires sont multipliées par $k^2 = 4$, mais les volumes sont multipliés par $k^3 = 8$.
Ici, $V_{\text{grand}} = (2a)^3 = 8a^3 = 8 \times V_{\text{petit}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Doubler les dimensions multiplie le volume par $2^3 = 8$, pas par $4$ (qui est $2^2$, le coefficient des aires).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on triple le rayon d'une sphère, son aire est multipliée par $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le rapport d'agrandissement est $k = 3$. Les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$.
On peut le vérifier : $\mathscr{A}_1 = 4\pi r^2$ et $\mathscr{A}_2 = 4\pi (3r)^2 = 4\pi \times 9r^2 = 9 \times \mathscr{A}_1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lors d'un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici $k = 3$, donc les aires sont bien multipliées par $3^2 = 9$.
Attention : ce sont les volumes qui seraient multipliés par $k^3 = 27$, pas les aires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tripler le rayon (rapport $k = 3$) multiplie les aires par $k^2 = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une pyramide $SABCD$ à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $10$ cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à mi-hauteur.

Affirmation : L'aire de la section est égale à la moitié de l'aire de la base.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plan est à mi-hauteur, donc le rapport de réduction est $k = \dfrac{1}{2}$. Les longueurs de la section sont multipliées par $\dfrac{1}{2}$ et les aires par $k^2 = \dfrac{1}{4}$.
L'aire de la section vaut $\dfrac{1}{4} \times 36 = 9$ cm², soit le quart de l'aire de la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le rapport de réduction des longueurs ($k = \dfrac{1}{2}$) et celui des aires ($k^2 = \dfrac{1}{4}$).
Le côté de la section mesure $6 \times \dfrac{1}{2} = 3$ cm, donc son aire est $3^2 = 9$ cm² : c'est le quart (pas la moitié) de $36$ cm².[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire de la section est le quart de l'aire de la base ($k^2 = \dfrac{1}{4}$), pas la moitié.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un cône de révolution de rayon $6$ cm et de hauteur $3$ cm, et une boule de rayon $3$ cm.

Affirmation : Ces deux solides ont le même volume.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 3 = \dfrac{1}{3} \times 108\pi = 36\pi$ cm³.
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27\pi = 36\pi$ cm³.
Les deux volumes sont bien égaux à $36\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut calculer chaque volume séparément.
Le cône : $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 3 = 36\pi$.
La boule : $\dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi$.
Les deux valent bien $36\pi$ cm³.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $V_{\text{cône}} = 36\pi$ cm³ et $V_{\text{boule}} = 36\pi$ cm³ : les volumes sont égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le volume d'un solide est multiplié par $27$ lors d'un agrandissement, alors ses longueurs sont multipliées par $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si les volumes sont multipliés par $27$, alors $k^3 = 27$, ce qui donne $k = \sqrt[3]{27} = 3$.
Les longueurs sont multipliées par $3$, pas par $9$.
Le nombre $9 = 3^2$ serait le coefficient multiplicateur des aires, pas des longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : si le rapport d'agrandissement est $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Ici $k^3 = 27$, donc $k = 3$.
Le nombre $9$ correspondrait à $k^2$, c'est-à-dire au coefficient des aires. Les longueurs, elles, sont multipliées par $k = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $k^3 = 27$ alors $k = 3$ : les longueurs sont multipliées par $3$ (et les aires par $9$).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
On place une boule de diamètre $10$ cm dans une boîte cubique d'arête $10$ cm. La boule touche les six faces de la boîte.

Calculer le taux de remplissage de la boîte (pourcentage du volume occupé par la boule), puis étudier ce qui se passe si on remplace la grosse boule par $8$ petites boules.
[/enonce]

[etape]
Calculer le volume de la boîte cubique : [[vcube]]
[math id="vcube" attendu="1000"]
[reponse statut="correct"]Exact !
$V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="100"]
C'est l'aire d'une face ($10^2 = 100$), pas le volume. Pour un cube, le volume est $c^3$.[/reponse]
[reponse motif="30"]
Tu as peut-être calculé le périmètre d'une face. Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le volume d'un cube d'arête $c$ est $V = c^3$. Ici $c = 10$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$V = c^3 = 10^3$.[/aide]
[aide essai="3"]
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume de la boule, arrondi au cm³ : [[vboule]]
[math id="vboule" attendu="524"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rayon est $r = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 524$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="4189"]
Tu as probablement utilisé $r = 10$ (le diamètre) au lieu de $r = 5$ (le rayon). Le diamètre est $10$ cm, donc le rayon est $5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="523"]
Presque ! Vérifie l'arrondi : $\dfrac{500\pi}{3} = 523{,}6\ldots$, qui s'arrondit à $524$.[/reponse]
[reponse motif="500"]
Tu as peut-être oublié de diviser par $3$. La formule est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, pas $4\pi r^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Attention : l'énoncé donne le diamètre ($10$ cm), pas le rayon. Calculer d'abord $r$, puis appliquer $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le rayon est $r = 5$ cm.
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 5^3$.
Calculer $5^3$, multiplier par $4$, diviser par $3$, puis multiplier par $\pi$.[/aide]
[aide essai="3"]
$5^3 = 125$.
$\dfrac{4 \times 125}{3} = \dfrac{500}{3} \approx 166{,}7$.
$166{,}7 \times \pi \approx \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 125 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 524$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le taux de remplissage (pourcentage du volume de la boîte occupé par la boule), arrondi à l'unité : [[taux]]
[math id="taux" attendu="52"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{524}{1\,000} \times 100 \approx 52$ %.
La boule n'occupe qu'environ la moitié du volume de la boîte.[/reponse]
[reponse motif="48"]
Tu as peut-être calculé le pourcentage d'espace vide (ce qui reste), pas le pourcentage occupé par la boule.[/reponse]
[reponse motif="5"]
Tu as divisé par $1\,000$ mais oublié de multiplier par $100$ pour obtenir un pourcentage.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le taux de remplissage est $\dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{cube}}} \times 100$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Taux $= \dfrac{524}{1\,000} \times 100$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{524}{1\,000} = 0{,}524$.
$0{,}524 \times 100 = \ldots$[/aide]
[solution]
Taux $= \dfrac{524}{1\,000} \times 100 \approx 52$ %.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On remplace la grosse boule par $8$ petites boules identiques de diamètre $5$ cm (elles tiennent dans la boîte en se plaçant dans les $8$ coins, $2$ par direction).
Chaque petite boule est une réduction de la grosse. Quel est le rapport $k$ de cette réduction ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le diamètre passe de $10$ à $5$ cm : toutes les longueurs sont divisées par $2$, donc $k = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]
$\dfrac{1}{8}$ serait le rapport des volumes, pas des longueurs. Le rapport de réduction compare les longueurs : $\dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]
$\dfrac{1}{4}$ serait le rapport des aires, pas des longueurs. Le rapport de réduction compare les longueurs : $\dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rapport de réduction est le quotient des longueurs homologues : $k = \dfrac{5}{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$k = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume d'une petite boule, arrondi au cm³ : [[vpetite]]
[math id="vpetite" attendu="65"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$V_{\text{petite}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 = \dfrac{62{,}5\pi}{3} \approx 65$ cm³.
On peut aussi utiliser $k^3$ : $V_{\text{petite}} = 524 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{524}{8} \approx 65$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="262"]
Tu as peut-être divisé le volume de la grosse boule par $2$ au lieu de par $8$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="131"]
Tu as peut-être divisé par $4$ ($k^2$). Pour les volumes, c'est $k^3 = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rayon d'une petite boule est $2{,}5$ cm. Appliquer la formule $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, ou bien diviser le volume de la grosse boule par $8$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le volume d'une petite boule est celui de la grosse multiplié par $k^3 = \dfrac{1}{8}$.
$V_{\text{petite}} = \dfrac{524}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{524}{8} = 65{,}5$.
Arrondi au cm³ : $\ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{petite}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 2{,}5^3 \approx 65$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Il y a $8$ petites boules dans la boîte. Le taux de remplissage avec les $8$ petites boules est-il différent de celui avec la grosse boule ?
[qcm]
[option]Il est plus grand (les petites boules remplissent mieux)[/option]
[option]Il est plus petit (les petites boules laissent plus de vide)[/option]
[option correct="true"]Il est identique[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le volume total des $8$ petites boules est $8 \times 65 \approx 524$ cm³, exactement le même que celui de la grosse boule.
En effet : chaque petite boule a un volume $\dfrac{1}{8}$ de la grosse (car $k^3 = \dfrac{1}{8}$), et il y en a $8$. Donc $8 \times \dfrac{1}{8} = 1$ : le volume total est inchangé, et le taux de remplissage reste d'environ $52$ %.[/reponse]
[reponse motif="Il est plus grand (les petites boules remplissent mieux)"]
C'est une intuition fréquente, mais elle est fausse ici. Calculer le volume total des $8$ petites boules : $8 \times 65$.[/reponse]
[reponse motif="Il est plus petit (les petites boules laissent plus de vide)"]
Pas tout à fait. Calculer le volume total : $8 \times 65$. Comparer avec le volume de la grosse boule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer $8 \times V_{\text{petite}}$ et comparer avec $V_{\text{grosse}}$. Le lien avec $k^3$ explique le résultat.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$8 \times V_{\text{petite}} = 8 \times \dfrac{V_{\text{grosse}}}{8} = V_{\text{grosse}}$.
Le taux de remplissage est identique : environ $52$ %.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Un verre a la forme d'un cône de révolution renversé (pointe vers le bas). Le diamètre de l'ouverture est de $10$ cm et la génératrice (bord du verre) mesure $13$ cm. L'épaisseur du verre est négligeable.

Calculer le volume de ce verre, puis déterminer le volume de liquide lorsqu'on le remplit à mi-hauteur.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $SOB$ est rectangle en $O$, avec $SB = 13$ cm (génératrice) et $OB = 5$ cm (rayon). Calculer la hauteur $h = SO$ du verre : [[h]]
[math id="h" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Exact !
$SO^2 = SB^2 - OB^2 = 169 - 25 = 144$, donc $SO = \sqrt{144} = 12$ cm.[/reponse]
[reponse motif="169"]
C'est la valeur de $SB^2$, pas de $SO$. Il faut soustraire $OB^2$ avant de prendre la racine.[/reponse]
[reponse motif="144"]
C'est la valeur de $SO^2$, pas de $SO$. Il reste à prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Dans le triangle rectangle $SOB$ : $SB^2 = SO^2 + OB^2$. Isoler $SO^2$ puis prendre la racine carrée.[/reponse]
[aide essai="2"]
$SB^2 = SO^2 + OB^2$, donc $SO^2 = SB^2 - OB^2$.[/aide]
[aide essai="3"]
$SO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Il reste à calculer $\sqrt{144}$.[/aide]
[solution]
$SO = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le volume du verre. Le volume s'écrit $V = a\pi$ cm³.
Donner la valeur de $a$ : [[a]]
[math id="a" attendu="100"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 300\pi = 100\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="300"]
Tu as oublié le facteur $\dfrac{1}{3}$ devant la formule du cône. Le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.[/reponse]
[reponse motif="25"]
Tu as calculé $R^2 = 25$, mais il faut encore multiplier par $h$ et diviser par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Appliquer la formule avec $R = 5$ et $h = 12$ : calculer $R^2$, multiplier par $h$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
Le volume d'un cône s'écrit $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$, avec ici $R = 5$ et $h = 12$.
Calculer d'abord $5^2 \times 12$, puis diviser par $3$.[/aide]
[aide essai="3"]
$5^2 \times 12 = 25 \times 12 = 300$.
$\dfrac{300}{3} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi$ cm³.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Convertir le volume du verre en centilitres. Donner l'arrondi au dixième : [[cl]]
Rappel : $1$ cL $= 10$ cm³.
[math id="cl" attendu="31.4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$100\pi \approx 314{,}2$ cm³, soit $\dfrac{314{,}2}{10} \approx 31{,}4$ cL.[/reponse]
[reponse motif="314.2"]
C'est le volume en cm³, pas en centilitres. Pour convertir, diviser par $10$.[/reponse]
[reponse motif="314"]
C'est le volume arrondi en cm³. Pour passer en centilitres, diviser par $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Calculer d'abord $100\pi$ à la calculatrice, puis diviser par $10$ pour convertir en cL.[/reponse]
[aide essai="2"]
$100\pi \approx 314{,}2$ cm³.
Pour convertir en cL, diviser par $10$.[/aide]
[aide essai="3"]
$\dfrac{314{,}2}{10} = \ldots$ cL.[/aide]
[solution]
$V = 100\pi \approx 314{,}2$ cm³ $= 31{,}4$ cL.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On remplit le verre exactement à mi-hauteur (soit $6$ cm de liquide à partir de la pointe). Le liquide forme un petit cône de hauteur $6$ cm.
Quel est le rapport de réduction entre le petit cône de liquide et le grand cône (le verre entier) ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La hauteur du liquide est $6$ cm, celle du verre est $12$ cm. Le rapport de réduction est $k = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
Toutes les longueurs du petit cône sont la moitié de celles du grand.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]
Le rapport $\dfrac{1}{4}$ correspondrait à un remplissage au quart de la hauteur. Ici, on remplit à mi-hauteur : le rapport est le quotient des deux hauteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Le rapport de réduction est le quotient de la hauteur du liquide par la hauteur du verre.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$k = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Lors d'une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.
Calculer le volume de liquide à mi-hauteur. Le résultat s'écrit $V = b\pi$ cm³.
Donner la valeur de $b$ : []
[math id="b" attendu="12.5"]
[reponse statut="correct"][b]Bonne réponse !
$V_{\text{liquide}} = 100\pi \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 100\pi \times \dfrac{1}{8} = 12{,}5\pi$ cm³.
Le verre rempli à mi-hauteur ne contient que $\dfrac{1}{8}$ de sa capacité totale, soit environ $39{,}3$ cm³ ($\approx 3{,}9$ cL).[/reponse]
[reponse motif="50"]
Tu as multiplié par $\dfrac{1}{2}$ au lieu de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Les volumes ne sont pas multipliés par $k$ mais par $k^3$.[/reponse]
[reponse motif="25"]
Tu as peut-être multiplié par $k^2$ au lieu de $k^3$. L'exposant $2$ s'applique aux aires, pas aux volumes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]
Multiplier le volume total ($100\pi$) par $k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Calculer d'abord $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$.[/reponse]
[aide essai="2"]
$k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.
Le volume du liquide est $100\pi \times \dfrac{1}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]
$100 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{100}{8} = \ldots$[/aide]
[solution]
$V_{\text{liquide}} = 100\pi \times \dfrac{1}{8} = 12{,}5\pi$ cm³, soit environ $3{,}9$ cL : le verre est loin d'être à moitié plein !
[/solution]
[/etape]