[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les pièges classiques des lois binomiale et géométrique, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
L'événement contraire de $\{X \geqslant k\}$ est $\{X < k\}$, c'est-à-dire $\{X \leqslant k - 1\}$, et non $\{X \leqslant k\}$. La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$. Attention au décalage d'une unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : $\{X \leqslant k\}$ inclut $X = k$, alors que le complémentaire de $\{X \geqslant k\}$ est $\{X \leqslant k - 1\}$ (strictement plus petit que $k$). La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte est $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$. L'erreur d'un cran sur l'indice est très fréquente.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$, alors $P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}7)^{20}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement contraire de $\{X \geqslant 1\}$ est $\{X = 0\}$ (« aucun succès »). On a $P(X = 0) = (1 - p)^{n} = (0{,}7)^{20}$, donc $P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}7)^{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le complémentaire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Or $P(X = 0) = (1 - p)^{n} = 0{,}7^{20}$. Donc $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}7^{20}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}7)^{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance une pièce équilibrée. Les $4$ premiers lancers ont donné Face.

Affirmation : La probabilité que le $5$e lancer donne Pile est de $0{,}7$, car la pièce est censée se rééquilibrer.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Les lancers sont indépendants : la probabilité reste $0{,}5$ à chaque lancer, quels que soient les résultats précédents. L'idée d'un « rééquilibrage » est un sophisme classique (le piège du joueur).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège du joueur : croire que les lancers passés influencent les lancers futurs. En réalité, l'indépendance des lancers garantit que $P(\text{Pile}) = 0{,}5$ à chaque lancer, peu importe l'historique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les lancers sont indépendants : la probabilité d'obtenir Pile au $5$e lancer reste $0{,}5$ quoi qu'il se soit passé avant.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$.

Affirmation : Sachant que les $5$ premières épreuves ont échoué, la probabilité d'attendre encore au moins $3$ épreuves supplémentaires pour obtenir le premier succès vaut $(0{,}8)^{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'absence de mémoire de la loi géométrique : $P_{X > 5}(X > 5 + 3) = P(X > 3) = (1 - p)^{3} = (0{,}8)^{3}$. La loi « oublie » les échecs précédents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété d'absence de mémoire : la loi géométrique « oublie » le passé. La probabilité d'attendre encore $k$ essais sachant qu'on en a déjà fait $n$ est la même que la probabilité initiale d'attendre $k$ essais. D'où $(1 - p)^{3} = (0{,}8)^{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par absence de mémoire : $P_{X > 5}(X > 8) = P(X > 3) = (0{,}8)^{3} = 0{,}512$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}4)$, alors $E(X) = 10 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 2{,}4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
La formule $np(1 - p)$ est celle de la variance de la loi binomiale, pas de l'espérance. L'espérance vaut simplement $E(X) = np = 10 \times 0{,}4 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre l'espérance ($np$) et la variance ($np(1 - p)$) de la loi binomiale. L'espérance vaut $E(X) = np = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = np = 10 \times 0{,}4 = 4$. La valeur $2{,}4 = np(1 - p)$ correspond à la variance.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces $12$ fois. Soit $X$ le nombre de fois où l'on obtient un $6$.

Affirmation : En moyenne, on obtient $2$ fois le chiffre $6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ suit $\mathcal{B}\left(12\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$. Donc $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$. En moyenne, on attend bien $2$ « $6$ » sur $12$ lancers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer l'espérance : $X$ suit $\mathcal{B}\left(12\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$, donc $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$. La proportion attendue de « $6$ » est $\dfrac{1}{6}$ des lancers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = 2$.
[/solution]
[/etape]