QCM : Union, intersection et valeurs absolues
[enonce]
Ce QCM porte sur l'union et l'intersection d'intervalles et les valeurs absolues. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Si $I = [-1 ; 4]$ et $J = [2 ; 7]$, quelle est l'intersection $I \cap J$ ?
[qcm]
[option]$[-1 ; 7]$[/option]
[option correct="true"]$[2 ; 4]$[/option]
[option]$[2 ; 7]$[/option]
[option]$[-1 ; 4]$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'intersection est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ et à $J$ en même temps. Les deux intervalles se chevauchent entre $2$ et $4$, donc $I \cap J = [2 ; 4]$.[/reponse]
[reponse motif="$[-1 ; 7]$"]Non.
Attention à ne pas confondre union ($\cup$) et intersection ($\cap$). L'intersection est la zone commune aux deux intervalles, pas l'ensemble de tout ce qui est colorié.[/reponse]
[reponse motif="$[2 ; 7]$"]Non.
Cet intervalle est $J$ lui-même. L'intersection ne contient que les nombres qui sont dans $I$ et dans $J$ simultanément. Colorier les deux intervalles sur une droite graduée pour repérer la zone commune.[/reponse]
[reponse motif="$[-1 ; 4]$"]Non.
Cet intervalle est $I$ lui-même. L'intersection est la zone commune aux deux intervalles. Dessiner les deux sur une droite graduée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intersection ($\cap$) correspond au mot « et » : les nombres qui sont dans les deux intervalles à la fois. Dessiner une droite graduée pour repérer la zone commune.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La zone commune à $I = [-1 ; 4]$ et $J = [2 ; 7]$ va de $2$ à $4$. Donc $I \cap J = [2 ; 4]$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Que vaut $|-7 + 3|$ ?
[qcm]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$-10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$-7 + 3 = -4$, puis $|-4| = 4$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Le calcul $-7 + 3 = -4$ est correct, mais il manque une étape. Se rappeler qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Attention : $|a + b| \neq |a| + |b|$ en général. Il faut d'abord calculer la somme à l'intérieur des barres, puis appliquer la valeur absolue.[/reponse]
[reponse motif="$-10$"]Non.
Une valeur absolue ne peut jamais être négative. Calculer d'abord la somme $-7 + 3$, puis appliquer la définition de la valeur absolue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $-7 + 3$, puis appliquer la valeur absolue au résultat. Se rappeler qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$-7 + 3 = -4$ et $|-4| = 4$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Si $I = ]-\infty ; 3]$ et $J = [5 ; +\infty[$, quelle est $I \cup J$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$[3 ; 5]$[/option]
[option]$\varnothing$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty ; 3] \cup [5 ; +\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les deux intervalles ne se chevauchent pas ($3 < 5$), donc l'union ne forme pas un seul intervalle. On laisse le symbole $\cup$ entre les deux morceaux.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
Vérifier si tous les nombres réels sont couverts. Par exemple, le nombre $4$ appartient-il à $I$ ou à $J$ ?[/reponse]
[reponse motif="$[3 ; 5]$"]Non.
$[3 ; 5]$ est la zone entre les deux intervalles. L'union rassemble tout ce qui est dans $I$ ou dans $J$, pas ce qui est entre les deux.[/reponse]
[reponse motif="$\varnothing$"]Non.
$\varnothing$ serait l'intersection ($I \cap J$). L'union ($\cup$) rassemble les deux morceaux, même s'ils sont disjoints.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand deux intervalles sont disjoints, l'union ne peut pas s'écrire comme un seul intervalle. On garde le symbole $\cup$ entre les deux morceaux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Les intervalles $]-\infty ; 3]$ et $[5 ; +\infty[$ sont disjoints (aucun point commun). L'union s'écrit $]-\infty ; 3] \cup [5 ; +\infty[$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Quelle est la distance entre $-4$ et $3$ sur la droite des réels ?
[qcm]
[option]$-7$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La distance entre deux nombres est $|3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7$. Une distance est toujours positive.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Le calcul de la différence est correct, mais une distance est toujours positive ou nulle. Appliquer la valeur absolue au résultat.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Attention à ne pas additionner les deux nombres au lieu de calculer leur distance. La distance entre $a$ et $b$ se calcule par $|b - a|$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
La distance entre deux nombres n'est pas leur somme. Elle se calcule par $|b - a|$, et le résultat est toujours positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La distance entre deux nombres $a$ et $b$ se calcule par $|b - a|$. Le résultat est toujours positif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La distance entre $-4$ et $3$ est $|3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Si $I = [-5 ; 1[$ et $J = ]-2 ; 3]$, quelle est $I \cap J$ ?
[qcm]
[option]$[-5 ; 3]$[/option]
[option]$[-2 ; 1[$[/option]
[option correct="true"]$]-2 ; 1[$[/option]
[option]$]-2 ; 1]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La zone commune va de $-2$ (exclu dans $J$) à $1$ (exclu dans $I$). Pour l'intersection, on prend le crochet le plus restrictif à chaque borne.[/reponse]
[reponse motif="$[-5 ; 3]$"]Non.
Attention à ne pas confondre union et intersection. L'intersection ($\cap$) est la zone commune, pas la zone totale.[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; 1[$"]Non.
La borne $-2$ est exclue dans $J$ (crochet ouvert dans $]-2 ; 3]$). Pour l'intersection, la borne doit être incluse dans les deux intervalles. Quel type de crochet faut-il en $-2$ ?[/reponse]
[reponse motif="$]-2 ; 1]$"]Non.
La borne $1$ est exclue dans $I$ (crochet ouvert dans $[-5 ; 1[$). Pour l'intersection, on prend le crochet le plus restrictif. Quel type de crochet faut-il en $1$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dessiner les deux intervalles sur une droite graduée. Pour l'intersection, à chaque borne, prendre le crochet le plus restrictif (ouvert si au moins un des deux est ouvert).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La zone commune va de $-2$ à $1$. En $-2$ : ouvert dans $J$, donc ouvert. En $1$ : ouvert dans $I$, donc ouvert. $I \cap J = {]-2 ; 1[}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Que vaut $|\sqrt{3} - 2|$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{3} - 2$[/option]
[option correct="true"]$2 - \sqrt{3}$[/option]
[option]$\sqrt{3} + 2$[/option]
[option]$-\sqrt{3} - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$, donc $\sqrt{3} - 2 < 0$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{3} - 2$"]Non.
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$, donc $\sqrt{3} - 2$ est négatif. La valeur absolue ne peut pas être négative. Appliquer la définition pour un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{3} + 2$"]Non.
La valeur absolue ne se calcule pas en changeant tous les signes en $+$. Déterminer d'abord le signe de $\sqrt{3} - 2$, puis appliquer la définition.[/reponse]
[reponse motif="$-\sqrt{3} - 2$"]Non.
Ce nombre est négatif ($\approx -3{,}73$), ce qui est impossible pour une valeur absolue. Vérifier le signe de $\sqrt{3} - 2$ et appliquer la définition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par déterminer si $\sqrt{3} - 2$ est positif ou négatif, puis appliquer la définition de la valeur absolue.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$, donc $\sqrt{3} - 2 < 0$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Nombres et calculs
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{16} + \sqrt{9} = \sqrt{25}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$, tandis que $\sqrt{25} = 5$. On a $7 \neq 5$, donc l'égalité est fausse. En général, $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la racine carrée ne se distribue pas sur l'addition. Calculer chaque terme séparément : $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{9} = 3$, donc $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 7$. Or $\sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \neq 5 = \sqrt{25}$. La propriété $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ est fausse en général.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{49} \in \mathbb{Q}$ mais $\sqrt{49} \notin \mathbb{Z}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\sqrt{49} = 7$ et $7 \in \mathbb{Z}$. L'affirmation « $\sqrt{49} \notin \mathbb{Z}$ » est donc fausse. Il faut toujours simplifier une expression avant de se prononcer sur la nature du nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas se fier à l'écriture avec un radical. $49$ est un carré parfait : $49 = 7^2$, donc $\sqrt{49} = 7$, qui est bien un entier relatif. $\sqrt{49} \in \mathbb{Z}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{49} = 7 \in \mathbb{Z}$, car $49$ est un carré parfait. L'affirmation « $\sqrt{49} \notin \mathbb{Z}$ » est incorrecte.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left]-1~;~4\right[ \cap \left[0~;~+\infty\right[ = \left[0~;~4\right[$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un nombre de l'intersection doit vérifier $-1 < x < 4$ et $x \geqslant 0$, soit $0 \leqslant x < 4$. Le crochet fermé en $0$ (inclus dans $\left[0~;~+\infty\right[$) et le crochet ouvert en $4$ (exclu de $\left]-1~;~4\right[$) donnent bien $\left[0~;~4\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour l'intersection, il faut combiner les contraintes. Le premier intervalle impose $x > -1$ et $x < 4$. Le second impose $x \geqslant 0$. La contrainte la plus forte à gauche est $x \geqslant 0$ (crochet fermé) et à droite $x < 4$ (crochet ouvert).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'intersection combine $-1 < x < 4$ et $x \geqslant 0$, soit $0 \leqslant x < 4 = \left[0~;~4\right[$. La borne $0$ est incluse et $4$ est exclue.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $-\sqrt{3}$ est un nombre rationnel.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\sqrt{3}$ est irrationnel (car $3$ n'est pas un carré parfait), et multiplier par $-1$ ne change pas cette propriété. L'opposé d'un irrationnel reste irrationnel : $-\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le signe négatif ne transforme pas un nombre irrationnel en nombre rationnel. $\sqrt{3}$ est irrationnel car $3$ n'est pas un carré parfait, et $-\sqrt{3} = -1 \times \sqrt{3}$ reste irrationnel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{3}$ est irrationnel, et l'opposé d'un irrationnel est irrationnel. Donc $-\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $x \in \left[-3~;~2\right]$, alors $x^2 \in \left[0~;~4\right]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $x = -3$ (qui appartient à l'intervalle), on a $x^2 = (-3)^2 = 9$, or $9 \notin \left[0~;~4\right]$. On ne peut pas simplement élever les bornes au carré sans tenir compte des valeurs négatives.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'élever les bornes au carré mécaniquement ($(-3)^2 = 9$ et $2^2 = 4$, donc $x^2 \in [4~;~9]$... ce n'est pas correct non plus !).
Pour $x \in [-3~;~2]$, la plus grande valeur de $x^2$ est obtenue en $x = -3$ : $(-3)^2 = 9$. Donc $x^2$ peut atteindre $9$, qui dépasse largement $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = -3$, on a $x^2 = 9 > 4$. On ne peut pas élever mécaniquement les bornes au carré : les valeurs négatives de $x$ peuvent donner de grands carrés.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left]-2~;~1\right[ \cup \left[1~;~5\right] = \left]-2~;~5\right]$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le premier intervalle couvre $]-2~;~1[$ (sans $1$) et le second couvre $[1~;~5]$ (avec $1$). Ensemble, ils couvrent tous les réels de $-2$ (exclu) à $5$ (inclus), sans trou en $1$ car le second le contient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On pourrait croire qu'il y a un « trou » en $1$, puisque $\left]-2~;~1\right[$ exclut $1$. Mais $\left[1~;~5\right]$ inclut $1$ (crochet fermé). L'union des deux couvre donc sans interruption l'intervalle $\left]-2~;~5\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $1$ est exclu du premier intervalle mais inclus dans le second. L'union couvre sans trou tout l'intervalle $\left]-2~;~5\right]$.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Intervalles
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les intervalles, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $-2 \in \left[-2~;~5\right]$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le crochet fermé $[$ en $-2$ signifie que la borne $-2$ est incluse dans l'intervalle. Donc $-2 \in \left[-2~;~5\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un crochet fermé (tourné vers l'intérieur) signifie que la borne est incluse. Ici, $\left[-2~;~5\right]$ contient tous les réels $x$ tels que $-2 \leqslant x \leqslant 5$, donc $-2$ en fait partie.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le crochet fermé en $-2$ indique que cette borne est incluse : $-2 \leqslant -2 \leqslant 5$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $3 \in \left[1~;~3\right[$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le crochet ouvert $[$ en $3$ signifie que cette borne est exclue. L'intervalle $\left[1~;~3\right[$ contient les réels $x$ tels que $1 \leqslant x < 3$, donc $3$ n'en fait pas partie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens du crochet en borne supérieure. Le crochet ouvert $[$ (tourné vers l'extérieur) en $3$ signifie que $3$ est exclu.
$\left[1~;~3\right[$ contient les réels $x$ vérifiant $1 \leqslant x < 3$ : la borne $3$ n'est pas atteinte.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le crochet ouvert en $3$ exclut cette borne. $\left[1~;~3\right[$ correspond à $1 \leqslant x < 3$, donc $3 \notin \left[1~;~3\right[$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $0 \in \left]-\infty~;~0\right]$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\left]-\infty~;~0\right]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x \leqslant 0$. Comme $0 \leqslant 0$, on a bien $0 \in \left]-\infty~;~0\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le crochet fermé en $0$ signifie que cette borne est incluse. $\left]-\infty~;~0\right]$ contient tous les réels $x$ vérifiant $x \leqslant 0$, et $0 \leqslant 0$ est vérifié.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left]-\infty~;~0\right]$ contient tous les réels inférieurs ou égaux à $0$. Comme $0 \leqslant 0$, la borne $0$ est bien incluse.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left[-2~;~5\right] \cap \left[3~;~8\right] = \left[3~;~5\right]$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'intersection correspond aux nombres qui appartiennent aux deux intervalles à la fois. Un nombre $x$ doit vérifier $-2 \leqslant x \leqslant 5$ et $3 \leqslant x \leqslant 8$, soit $3 \leqslant x \leqslant 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'intersection ($\cap$) regroupe les nombres communs aux deux intervalles. En représentant les deux intervalles sur une droite graduée, la zone de chevauchement va de $3$ à $5$ (bornes incluses).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'intersection contient les réels appartenant aux deux intervalles : $x \geqslant 3$ (borne inférieure du second) et $x \leqslant 5$ (borne supérieure du premier), soit $\left[3~;~5\right]$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left[1~;~4\right] \cup \left[2~;~6\right] = \left[2~;~4\right]$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\left[2~;~4\right]$ est l'intersection, pas l'union. L'union regroupe tous les nombres appartenant à au moins un des deux intervalles : $\left[1~;~4\right] \cup \left[2~;~6\right] = \left[1~;~6\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre union ($\cup$) et intersection ($\cap$). L'union regroupe les nombres de l'un ou l'autre intervalle, tandis que l'intersection ne garde que les nombres communs.
$\left[1~;~4\right] \cup \left[2~;~6\right] = \left[1~;~6\right]$ et $\left[1~;~4\right] \cap \left[2~;~6\right] = \left[2~;~4\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[2~;~4\right]$ est l'intersection des deux intervalles. L'union est $\left[1~;~4\right] \cup \left[2~;~6\right] = \left[1~;~6\right]$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left[-1~;~3\right] \cap \left[5~;~7\right] = \varnothing$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les deux intervalles ne se chevauchent pas : le premier s'arrête en $3$ et le second commence en $5$. Il n'existe aucun nombre appartenant aux deux à la fois, donc l'intersection est vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En traçant les deux intervalles sur une droite graduée, on constate qu'il n'y a aucune zone de chevauchement : $\left[-1~;~3\right]$ s'arrête en $3$ et $\left[5~;~7\right]$ commence en $5$. L'intersection est bien vide ($\varnothing$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux intervalles sont disjoints (aucun chevauchement entre $\left[-1~;~3\right]$ et $\left[5~;~7\right]$), donc leur intersection est $\varnothing$.
[/solution]
[/etape]
