Suites matricielles affines — gestion de stocks

Un distributeur gère le stock de deux produits A et B. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ (resp. $ v_n $) le nombre d'unités en stock du produit A (resp. B) en début de la semaine $ n $.

Chaque semaine :

Produit A : 40 % du stock est vendu et 120 nouvelles unités sont livrées : $ u_{n+1} = \dfrac{3}{5}\,u_n + 120 $.
Produit B : la moitié du stock est vendue et 80 nouvelles unités sont livrées : $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n + 80 $.

En début de semaine 0, le stock de A est de 50 unités et le stock de B est de 40 unités.

On pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $.

1. Écrire la relation de récurrence sous la forme $ U_{n+1} = A\,U_n + C $, en précisant les matrices $ A $ et $ C $.
2. Calculer $ U_1 $ et $ U_2 $.
On cherche une matrice colonne $ L = \begin{pmatrix} \ell \\ m \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $ (point fixe de la relation).
1. Résoudre le système correspondant et déterminer $ L $.
2. On pose $ V_n = U_n - L $. Montrer que $ V_{n+1} = A\,V_n $.
1. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, $ V_n = A^n\,V_0 $. Donner $ V_0 $.
2. Calculer $ A^n $.
3. En déduire les expressions de $ u_n $ et $ v_n $ en fonction de $ n $.
Vers quelle valeur chacun des stocks converge-t-il lorsque $ n \to +\infty $ ? Interpréter ce résultat.

Corrigé

1. Les deux relations de récurrence s'écrivent matriciellement $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec :
  
  $ A = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} $ et $ C = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} $.
2. On part de $ U_0 = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} $.
  
  $ U_1 = A\,U_0 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 50 \\ \dfrac{1}{2} \times 40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 100 \end{pmatrix} $
  
  $ U_2 = A\,U_1 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 150 \\ \dfrac{1}{2} \times 100 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 50 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 210 \\ 130 \end{pmatrix} $
1. La condition $ L = A\,L + C $ donne le système :
  
  $ \left\{\begin{matrix} \ell = \dfrac{3}{5}\,\ell + 120 \\ m = \dfrac{1}{2}\,m + 80 \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{5}\,\ell = 120 \\ \dfrac{1}{2}\,m = 80 \end{matrix}\right. $
  
  On obtient $\mathbf{\ell = 300}$ et $\mathbf{m = 160}$, donc $ L = \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} $.
2. Pour tout entier naturel $ n $, $ V_{n+1} = U_{n+1} - L $.
  
  Or $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ et $ L = A\,L + C $, donc :
  
  $ V_{n+1} = \left(A\,U_n + C\right) - \left(A\,L + C\right) = A\,U_n - A\,L = A\left(U_n - L\right) = A\,V_n $
1. La suite $ \left(V_n\right) $ vérifie $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $.
  
  $ V_0 = U_0 - L = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -250 \\ -120 \end{pmatrix} $
2. La matrice $ A $ est diagonale, donc pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{3}{5}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $
3. On calcule :
  
  $ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} -250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \\ -120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $
  
  Comme $ U_n = V_n + L $, on obtient pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $\mathbf{u_n = 300 - 250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$ et $\mathbf{v_n = 160 - 120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$.
Comme $ 0 < \dfrac{3}{5} < 1 $ et $ 0 < \dfrac{1}{2} < 1 $, on a $ \left(\dfrac{3}{5}\right)^n \to 0 $ et $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 $ lorsque $ n \to +\infty $.

Donc $ u_n \to $ 300 et $ v_n \to $ 160.

À long terme, le stock du produit A se stabilise à 300 unités et celui du produit B à 160 unités : ce sont les niveaux d'équilibre correspondant au point fixe $ L $.

Pour réviser : Déterminer le terme général d'une suite U(n+1) = AU(n) + C

Vrai/Faux : État stable d’une suite matricielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'état stable d'une suite matricielle ou d'une chaîne de Markov, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $L$ est un point fixe de la relation $U_{n+1} = A\,U_n + C$ et que $U_0 = L$, alors $U_n = L$ pour tout $n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si $U_n = L$, alors $U_{n+1} = A\,L + C = L$ par définition du point fixe. Par récurrence, la suite reste constamment égale à $L$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition même du point fixe garantit cette propriété : $L$ est invariant par la transformation, donc en partant de $L$, on reste en $L$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $U_0 = L$ avec $L = A\,L + C$, alors $U_n = L$ pour tout $n$ par récurrence directe.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute distribution $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ vérifiant $a + b = 1$ est invariante pour toute matrice de transition.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une distribution invariante doit aussi vérifier $X\,P = X$, ce qui dépend de $P$. La condition $a + b = 1$ ne fait que garantir qu'il s'agit d'une distribution de probabilité, pas qu'elle est invariante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confondre « distribution » et « distribution invariante ». La condition de somme $1$ caractérise les distributions ; l'invariance impose en plus l'égalité $X\,P = X$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition $a + b = 1$ caractérise une distribution, mais l'invariance demande aussi $X\,P = X$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, la distribution $X = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ est invariante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie : $X\,P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \times 0{,}6 + 0{,}5 \times 0{,}4 & 0{,}5 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} = X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand la matrice $P$ est symétrique avec lignes égales par symétrie, la distribution équilibrée $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ est invariante. Effectuer le calcul $X\,P$ pour le vérifier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le calcul $X\,P = X$ se vérifie directement.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition a tous ses coefficients strictement positifs, la suite des distributions $\left(X_n\right)$ converge vers la distribution invariante quelle que soit $X_0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est un théorème classique : sous l'hypothèse de positivité stricte de tous les coefficients de $P$, $\left(X_n\right)$ converge vers l'unique distribution invariante, et cette limite est indépendante de la distribution initiale $X_0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La condition « tous les coefficients strictement positifs » est précisément ce qui garantit l'oubli progressif de la distribution initiale et la convergence vers une limite unique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Sous cette condition, $\left(X_n\right)$ converge vers la distribution invariante, indépendamment de $X_0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la suite $U_{n+1} = A\,U_n + C$ avec $A = I_2$ et $C \ne 0$, il existe un point fixe.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $A = I_2$, l'équation $L = I_2\,L + C = L + C$ donne $C = 0$, ce qui contredit $C \ne 0$. Aucun point fixe n'existe : la suite $U_n = U_0 + n\,C$ est arithmétique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le point fixe $L$ vérifie $\left(I_p - A\right)L = C$. Si $A = I_2$, le système devient $0 = C$ : il n'a pas de solution lorsque $C \ne 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec $A = I_2$ et $C \ne 0$, l'équation du point fixe $C = 0$ n'a pas de solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la matrice de transition est $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, alors toute distribution est invariante.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$P = I_2$, donc pour toute distribution $X$, on a $X\,P = X$. Toutes les distributions sont invariantes (il n'y a pas d'unicité dans ce cas dégénéré).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$P = I_2$ ne modifie aucune distribution : $X \times I_2 = X$ pour toute $X$. Donc toutes les distributions vérifient l'équation d'invariance.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $P = I_2$, l'égalité $X\,P = X$ est satisfaite pour toute distribution $X$.
[/solution]
[/etape]

QCM : État stable et limite d’une suite matricielle

[enonce]
Ce QCM porte sur l'état stable et la limite d'une suite définie par une relation $U_{n+1} = A\,U_n + C$ ou par une chaîne de Markov. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
On dit qu'une matrice colonne $L$ est un point fixe (ou état stable) de la relation $U_{n+1} = A\,U_n + C$ lorsque :
[qcm]
[option]$L = A\,L$[/option]
[option correct="true"]$L = A\,L + C$[/option]
[option]$L = A^n\,L + C$[/option]
[option]$L = U_0$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un point fixe $L$ vérifie : si $U_n = L$, alors $U_{n+1} = L$ aussi. Cela revient à imposer $L = A\,L + C$.[/reponse]
[reponse motif="$L = A\,L$"]Non.
Cette équation correspond au cas sans terme constant ($C = 0$). En présence d'un terme additif $C$, le point fixe doit aussi en tenir compte.[/reponse]
[reponse motif="$L = A^n\,L + C$"]Non.
La définition du point fixe utilise la relation à un seul pas, pas $n$ pas. On veut que $L$ soit invariant par une seule application de la relation.[/reponse]
[reponse motif="$L = U_0$"]Non.
Le point fixe ne dépend pas du terme initial $U_0$ : il dépend de la matrice $A$ et de la constante $C$. Une suite peut converger vers un point fixe quel que soit son point de départ.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le point fixe est défini par l'égalité $L = A\,L + C$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère $U_{n+1} = A\,U_n + C$ avec $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Quel est le point fixe $L$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $L = A\,L + C$ avec $L = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ : $\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}x + 1 \\ y = \dfrac{1}{4}y + 3 \end{cases}$, soit $\begin{cases} \dfrac{1}{2}x = 1 \\ \dfrac{3}{4}y = 3 \end{cases}$, d'où $x = 2$ et $y = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ est la matrice $C$, pas le point fixe. Il faut résoudre $\left(I_2 - A\right)L = C$ pour obtenir $L$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}$"]Non.
Cela correspond à $A\,C$ et non au point fixe. Bien résoudre l'équation $L = A\,L + C$, qui demande d'isoler $L$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de division : pour résoudre $\dfrac{1}{2}x = 1$, on multiplie par $2$ et non par $4$. De même $\dfrac{3}{4}y = 3$ donne $y = 4$, pas $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $L = A\,L + C$ donne $L = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La suite $\left(U_n\right)$ vérifie $U_{n+1} = A\,U_n + C$ et l'on a trouvé que $A^n$ tend vers la matrice nulle. Vers quoi tend $\left(U_n\right)$ ?
[qcm]
[option]Vers $U_0$[/option]
[option]Vers la matrice nulle[/option]
[option correct="true"]Vers le point fixe $L$ vérifiant $L = A\,L + C$[/option]
[option]Vers $C$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On pose $V_n = U_n - L$, alors $V_n = A^n\left(U_0 - L\right)$ tend vers la matrice nulle. Donc $U_n = V_n + L$ tend vers $L$.[/reponse]
[reponse motif="Vers $U_0$"]Non.
$U_0$ est le point de départ de la suite, pas sa limite. La suite évolue à chaque étape, elle ne reste pas en $U_0$.[/reponse]
[reponse motif="Vers la matrice nulle"]Non.
La présence du terme additif $C$ empêche en général la suite de tendre vers $0$. La limite est décalée par rapport au cas $C = 0$.[/reponse]
[reponse motif="Vers $C$"]Non.
$C$ apparaît dans l'expression, mais la limite n'est pas $C$ elle-même. Il faut résoudre $L = A\,L + C$ pour trouver la limite, qui est en général différente de $C$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsque $A^n$ tend vers $0$, la suite $\left(U_n\right)$ tend vers le point fixe $L$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $2$ états. Une distribution invariante $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ vérifie :
[qcm]
[option]$P\,X = X$[/option]
[option correct="true"]$X\,P = X$ et $a + b = 1$[/option]
[option]$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$X\,P = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La distribution invariante satisfait $X\,P = X$ (équation matricielle). On ajoute la condition de normalisation $a + b = 1$ pour qu'il s'agisse d'une distribution de probabilité (somme égale à $1$).[/reponse]
[reponse motif="$P\,X = X$"]Non.
$X$ étant une matrice ligne (et $P$ une matrice carrée), c'est $X\,P$ qui est défini, pas $P\,X$. L'ordre dans le produit matriciel est crucial.[/reponse]
[reponse motif="$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Une distribution doit avoir des coefficients de somme $1$, pas chacun égal à $1$. Cela donnerait une somme de $2$, ce qui ne correspond pas à des probabilités.[/reponse]
[reponse motif="$X\,P = 0$"]Non.
Confusion entre « invariante » et « annulée ». L'invariance signifie $X\,P = X$ (image inchangée), et non $X\,P = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La distribution invariante vérifie $X\,P = X$, complétée par la condition $a + b = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$, on cherche la distribution invariante $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$. Quel système faut-il résoudre ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}25\,b = a \\ a + b = 1 \end{cases}$[/option]
[option]$\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = a \\ 0{,}25\,a + 0{,}75\,b = b \end{cases}$ (sans contrainte de somme)[/option]
[option]$\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = b \\ a + b = 1 \end{cases}$[/option]
[option]$\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X\,P = \begin{pmatrix} 0{,}5\,a + 0{,}25\,b & 0{,}5\,a + 0{,}75\,b \end{pmatrix}$. L'égalité $X\,P = X$ donne deux équations équivalentes ; on garde la première et on ajoute $a + b = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = a \\ 0{,}25\,a + 0{,}75\,b = b \end{cases}$ (sans contrainte de somme)"]Non.
Il manque la condition de normalisation $a + b = 1$. Sans elle, le système admet une infinité de solutions (en particulier la solution nulle).[/reponse]
[reponse motif="$\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = b \\ a + b = 1 \end{cases}$"]Non.
Le calcul de la première coordonnée de $X\,P$ utilise la première colonne de $P$ : $0{,}5\,a + 0{,}25\,b$, et non $0{,}5\,a + 0{,}5\,b$ (qui est la deuxième coordonnée).[/reponse]
[reponse motif="$\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$"]Non.
Cette distribution n'est pas invariante en général : $X\,P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} \ne X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut écrire $X\,P = X$ (en utilisant les colonnes de $P$) et compléter par $a + b = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour une chaîne de Markov dont les coefficients de $P$ sont tous strictement positifs, que peut-on dire de la suite des distributions $\left(X_n\right)$ ?
[qcm]
[option]Elle est constante.[/option]
[option]Elle dépend uniquement de $X_0$ même à long terme.[/option]
[option correct="true"]Elle converge vers une distribution invariante indépendante de $X_0$.[/option]
[option]Elle diverge.[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
C'est un résultat classique : si tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs, la suite $\left(X_n\right)$ converge vers une distribution invariante $X$, et cette limite ne dépend pas de la distribution initiale $X_0$.[/reponse]
[reponse motif="Elle est constante."]Non.
$X_n$ change à chaque étape (sauf si $X_0$ est déjà invariante). C'est sa limite qui est l'état stable, pas la suite elle-même.[/reponse]
[reponse motif="Elle dépend uniquement de $X_0$ même à long terme."]Non.
À court terme, $X_n$ dépend de $X_0$. Mais sous hypothèse de coefficients tous strictement positifs, l'effet de $X_0$ s'estompe avec $n$ : la limite est la même quelle que soit la distribution initiale.[/reponse]
[reponse motif="Elle diverge."]Non.
Les coefficients d'une distribution restent dans $\left[0, 1\right]$ et leur somme vaut toujours $1$ : la suite $\left(X_n\right)$ est bornée et converge dans ce cadre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sous l'hypothèse de positivité stricte des coefficients de $P$, $\left(X_n\right)$ converge vers la distribution invariante, qui ne dépend pas de $X_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Suites et matrices – Bac S Pondichéry 2017 (spé)

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité On définit les suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ par :

$ u_0 = v_0 = 1 $

et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1} = 2u_n+3v_n $

et $ v_{n+1} = 2u_n+v_n $

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A

Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
Soit $ n $ un entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD$ \left(u_n~;~v_n\right) $. Aucune justification n'est demandée.
Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

Elle émet la conjecture : « la suite $ \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) $ converge ».

Qu'en penser ?

Partie B

Étude arithmétique

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a :

$ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.
Soit $ n $ un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$ \left(u_n~;~v_n\right) $.

Partie C

Étude matricielle Pour tout entier naturel $ n $, on définit :

$ X_n = \begin{pmatrix}u_n \\ v_n\end{pmatrix} $,
$ P = \begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2\end{pmatrix} $ et $ Q_n = \begin{pmatrix}(-1)^n&3 \times 2^{2n}\\(-1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix} $.

1. Montrer que la matrice $ \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& -3\\1&1\end{pmatrix} $ est l'inverse de $ P $.
2. On admet que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ X_n = Q_nP^{-1} X_0 $.
  
  Démontrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ \left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(-1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5} \\ \\ v_n&=&\dfrac{(-1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right. $
1. Vérifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ \dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2} $.
2. En déduire la limite de la suite $ \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) $.

Corrigé

Partie A

Les formules à saisir sont :
Dans la cellule B3 : =2*B2+3*C2
Dans la cellule C3 : =2*B2+C2
Au vu des premiers termes, on peut conjecturer que $ \text{PGCD}(u_n~;~v_n) = 1 $ pour tout entier naturel $ n $.
Le tableau montre que pour

$ n=13 $, $ \dfrac{u_{13}}{v_{13}} \approx 1{,}5000000 $.

La suite $ \left(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right) $ semble effectivement converger vers $ 1{,}5 $ (ou $ \dfrac{3}{2} $).

Partie B

Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.

Initialisation :
Pour $ n = 0 $ : $ 2u_0 - 3v_0 = 2(1) - 3(1) = -1 $ et $ (-1)^{0+1} = -1 $.
La propriété est vraie au rang $ 0 $.

Hérédité :
Supposons que pour un entier $ n \geqslant 0 $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.
Calculons $ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} $ :
$ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 2(2u_n + 3v_n) - 3(2u_n + v_n) $
$ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = 4u_n + 6v_n - 6u_n - 3v_n $
$ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -2u_n + 3v_n $
$ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(2u_n - 3v_n) $
D'après l'hypothèse de récurrence :
$ 2u_{n+1} - 3v_{n+1} = -(-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} $.
La propriété est donc vraie au rang $ n+1 $.

Conclusion :
La propriété est vraie pour $ n=0 $ et est héréditaire, donc pour tout entier naturel $ n $, $ 2u_n - 3v_n = (-1)^{n+1} $.
D'après la question précédente, on a la relation de Bézout :
$ 2u_n - 3v_n = \pm 1 $
Cela implique que $ 1 $ est une combinaison linéaire entière de $ u_n $ et $ v_n $.
D'après le théorème de Bézout, $ u_n $ et $ v_n $ sont premiers entre eux.
Ainsi, PGCD$ (u_n~;~v_n) = 1 $ .

Partie C

1. Nommons
  
  $ M = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& -3\\1&1\end{pmatrix} $.
  
  Calculons $ M \times P $ :
  
  $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2(1)+(-3)(-1) & 2(3)+(-3)(2) \\ 1(1)+1(-1) & 1(3)+1(2)\end{pmatrix} $
  
  $ M \times P = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2 $
  
  Donc la matrice donnée est bien l'inverse de $ P $.
2. On a $ X_n = Q_n P^{-1} X_0 $. Or
  
  $ X_0 = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} $.
  
  Calculons $ P^{-1} X_0 $ :
  
  $ P^{-1} X_0 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} $
  
  Maintenant calculons $ X_n = Q_n \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $ :
  
  $ X_n = \begin{pmatrix}(-1)^n & 3 \times 2^{2n} \\ (-1)^{n+1} & 2^{2n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1/5 \\ 2/5\end{pmatrix} $
  
  $ u_n = (-1)^n \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (3 \times 2^{2n}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times 2^{2n+1}}{5} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5} $
  
  $ v_n = (-1)^{n+1} \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) + (2^{2n+1}) \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{-(-1)^{n+1} + 2^{2n+2}}{5} = \dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5} $
  
  On retrouve bien les expressions demandées.
1. En partant de l'expression de $ u_n $ et $ v_n $ et en factorisant par $ 2^{2n+1} $ :
  
  $ \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^{n} + 2^{2n+2}}{5}} = \dfrac{(-1)^{n+1} + 3 \times 2^{2n+1}}{(-1)^{n} + 2 \times 2^{2n+1}} $
  
  En divisant le numérateur et le dénominateur par $ 2^{2n+1} $, on obtient:
  
  $ \dfrac{u_{n}}{v_{n}} = \dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} + 3}{\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} + 2} $
2. Les numérateurs $ (-1)^{n+1} $ et $ (-1)^{n} $ sont bornés (ils valent $ \pm 1 $), tandis que le dénominateur $ 2^{2n+1} $ tend vers $ +\infty $. Le quotient d'une quantité bornée par une quantité qui tend vers $ +\infty $ tend vers $ 0 $, donc
  $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}} = 0 $ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} = 0 $.
  
  Par quotient des limites :
  
  $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{0+3}{0+2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 $
  
  Ceci confirme la conjecture de la partie A.

Matrice de transition et Suites

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est

$ M=\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}35 & 0{,}65 \end{pmatrix} $

Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne $ \left(70 \quad 120\right) $.

En donner une interprétation.

Deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle $ X_{n} $ ($ n $ entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $ 2000+n $. On a donc $ X_{0}=60 $.

On admet que pour tout entier naturel $ n $, $ X_{n+1}=0{,}05X_{n}+66{,}5 $.

On considère la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ définie pour tout entier naturel n par $ u_{n}=X_{n} - 70 $.

Prouver que la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Montrer que pour tout entier naturel $ n $, $ X_{n}=70 - 10 \times 0{,}05^{n} $.

Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région

Corrigé

Première partie

Le graphe probabiliste associé à cette situation possède deux sommets C (co-voiturage) et V (voiture seule).
D'après l'énoncé :
Si un habitant pratique le co-voiturage (C), l'année suivante il se déplace seul (V) avec une probabilité de 0,6. On a donc une arête de C vers V de poids 0,6 et une boucle sur C de poids $ 1 - 0{,}6 = 0{,}4 $.
Si un habitant se déplace seul (V), l'année suivante il pratique le co-voiturage (C) avec une probabilité de 0,35. On a donc une arête de V vers C de poids 0,35 et une boucle sur V de poids $ 1 - 0{,}35 = 0{,}65 $.
Notons $ S = \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} $ la matrice ligne proposée.
On vérifie d'abord que la somme des coefficients correspond bien à la population totale (en milliers) :
$ 70 + 120 = 190 $.

Vérifions maintenant si $ S \times M = S $ :
$ \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}35 & 0{,}65 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70 \times 0{,}4 + 120 \times 0{,}35 & 70 \times 0{,}6 + 120 \times 0{,}65 \end{pmatrix} $
$ S \times M = \begin{pmatrix} 28 + 42 & 42 + 78 \end{pmatrix} $
$ S \times M = \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} $.

L'égalité $ S \times M = S $ est vérifiée, donc $ S $ est bien l'état stable du système.

Interprétation :
Sur le long terme, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage se stabilisera à 70 000 et celui des habitants se déplaçant seuls à 120 000.

Deuxième partie

Pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n = X_n - 70 $.
Calculons $ u_{n+1} $ en fonction de $ u_n $ :
$ u_{n+1} = X_{n+1} - 70 $
$ u_{n+1} = 0{,}05\, X_n + 66{,}5 - 70 $
$ u_{n+1} = 0{,}05\, X_n - 3{,}5 $
$ u_{n+1} = 0{,}05\, (X_n - 70) $
$ u_{n+1} = 0{,}05\, u_n $

La suite $ \left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}05 $ et de premier terme $ u_0 = X_0 - 70 = 60 - 70 = -10 $.
D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_n = u_0 \times q^n = -10 \times 0{,}05^n $

Comme $ u_n = X_n - 70 $, on en déduit que $ X_n = 70 + u_n $, soit :

$ X_n = 70 - 10 \times 0{,}05^n $

La population totale de la région est de 190 000 habitants.
La moitié de cette population correspond à $ 190 / 2 = 95 $ milliers d'habitants.
Cherchons si $ X_n $ peut atteindre la valeur 95 :
Pour tout entier naturel $ n $, $ 0{,}05^n > 0 $, donc $ 10 \times 0{,}05^n > 0 $.
On en déduit que $ 70 - 10 \times 0{,}05^n < 70 $.
Le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage reste donc toujours inférieur à 70 000.

Il n'est donc pas possible que ce nombre atteigne la moitié de la population (95 000 habitants).